Question

Решение системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными. Метод Крамера.Метод подстановки. Метод Гаусса. 3х+4у+2z=8 2x-y-3z=-1 x+5y+z=0

Answer 1

$\left\{\begin{array}{c}3x+4y+2z=8,\\2x-y-3z=-1,\\x+5y+z=0;\end{array}\right.$

Метод Крамера.
$\Delta= \left|\begin{array}{ccc}3&4&2\\2&-1&-3\\1&5&1\end{array}\right|=44, \\ \Delta_1= \left|\begin{array}{ccc}8&4&2\\-1&-1&-3\\0&5&1\end{array}\right|=106, \\ \Delta_2= \left|\begin{array}{ccc}3&8&2\\2&-1&-3\\1&0&1\end{array}\right|=-41, \\ \Delta_3= \left|\begin{array}{ccc}3&4&8\\2&-1&-1\\1&5&0\end{array}\right|=99, \\ x=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{53}{22}=2\frac{9}{22}, \\ y=\frac{\Delta_2}{\Delta}=-\frac{41}{44}, \\ z=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4};$

Метод подстановки.
$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}z,\\2x-y-3z=-1,\\x+5y+z=0;\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}z,\\2(\frac{8}{3}-\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}z)-y-3z=-1,\\\frac{8}{3}-\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}z+5y+z=0;\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}z,\\-\frac{11}{3}y-\frac{13}{3} z=-\frac{19}{3},\\\frac{11}{3}y+\frac{1}{3}z=-\frac{8}{3};\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}z,\\y=\frac{19}{11}-\frac{13}{11}z,\\\frac{11}{3}y+\frac{1}{3}z=-\frac{8}{3};\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}(\frac{19}{11}-\frac{13}{11}z)-\frac{2}{3}z,\\y=\frac{19}{11}-\frac{13}{11}z,\\\frac{11}{3}(\frac{19}{11}-\frac{13}{11}z)+\frac{1}{3}z=-\frac{8}{3};\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x=\frac{4}{11}+\frac{10}{11}z,\\y=\frac{19}{11}-\frac{13}{11}z,\\-4z=-9;\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{53}{22},\\y=-\frac{41}{44},\\z=\frac{9}{4}.\end{array}\right.$

Метод Гаусса.
$\left(\begin{array}{ccc|c}3&4&2&8\\2&-1&-3&-1\\1&5&1&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&\frac{4}{3}&\frac{2}{3}&\frac{8}{3}\\2&-1&-3&-1\\1&5&1&0\end{array}\right)=$
$=\left(\begin{array}{ccc|c}1&\frac{4}{3}&\frac{2}{3}&\frac{8}{3}\\0&-\frac{11}{3}&-\frac{13}{3}&-\frac{19}{3}\\0&\frac{11}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{8}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&\frac{4}{3}&\frac{2}{3}&\frac{8}{3}\\0&1&\frac{13}{11}&\frac{19}{11}\\0&\frac{11}{3}&\frac{1}{3}&-\frac{8}{3}\end{array}\right)=$
$=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-\frac{10}{11}&\frac{4}{11}\\0&1&\frac{13}{11}&\frac{19}{11}\\0&0&-4&-9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-\frac{10}{11}&\frac{4}{11}\\0&1&\frac{13}{11}&\frac{19}{11}\\0&0&1& \frac{9}{4}\end{array}\right)=$
$=\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&\frac{53}{22}\\0&1&0&-\frac{41}{44}\\0&0&1&\frac{9}{4}\end{array}\right). \\ x=2\frac{9}{22}, y=-\frac{41}{44}, z=2\frac{1}{4}.$

Answer 2

Решение системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными

Для решения системы линейных уравнений с тремя неизвестными (x, y, z) исследуем методы Крамера, подстановки и Гаусса.

Метод Крамера

Метод Крамера позволяет решить систему линейных уравнений с помощью определителей матриц. Для системы уравнений вида:

\[ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases} \]

где \(a_{ij}\) - коэффициенты, а \(b_i\) - свободные члены, решение может быть найдено по следующим формулам:

\[ x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D} \]

где \(D\) - главный определитель системы, а \(D_x\), \(D_y\), \(D_z\) - определители, получаемые заменой соответствующего столбца свободными членами.

Метод подстановки

Метод подстановки заключается в последовательном выражении одной переменной через остальные, и подстановке этого выражения в оставшиеся уравнения системы для поиска значений остальных переменных.

Метод Гаусса

Метод Гаусса (или метод прямых шагов) предполагает последовательное исключение переменных из уравнений путем умножения уравнений на коэффициенты и вычитания одного уравнения из другого с целью получения системы с треугольной матрицей коэффициентов.

Решение системы

Для данной системы линейных уравнений: \[ \begin{cases} 3x + 4y + 2z = 8 \\ 2x - y - 3z = -1 \\ x + 5y + z = 0 \end{cases} \]

Решение методом Крамера:

1. Вычислим главный определитель \(D\) и определители \(D_x\), \(D_y\), \(D_z\). 2. Найдем значения переменных \(x\), \(y\), \(z\) по формулам метода Крамера.

Решение методом подстановки:

Выразим, например, переменную \(x\) из одного уравнения и подставим ее в остальные уравнения системы.

Решение методом Гаусса:

Применим последовательные преобразования к системе уравнений для получения треугольной матрицы коэффициентов.

Далее, после решения методами Крамера, подстановки и Гаусса, можно сравнить полученные результаты для проверки правильности решения.

Дайте знать, какой метод решения вы хотели бы увидеть подробнее, и я с удовольствием помогу вам с этим!