Question

Помогите решить дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой частью срочно, очень надо: y''+4y=e^-3x, y(0)=0, y'(0)=0

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить это дифференциальное уравнение. Для начала давайте найдем общее решение однородной части уравнения, а затем найдем частное решение для неоднородной правой части.

Дифференциальное уравнение второго порядка выглядит следующим образом: y'' + 4y = e^(-3x).

1. Однородная часть уравнения: Для начала решим однородную часть уравнения, игнорируя правую часть. Это уравнение без правой части. y'' + 4y = 0.

Предположим решение в виде y = e^(rt), где r - неизвестная константа. Подставим это в уравнение:

(e^(rt))'' + 4e^(rt) = 0.

Выполним дифференцирование: r^2e^(rt) + 4e^(rt) = 0.

Вынесем e^(rt) как общий множитель: e^(rt) * (r^2 + 4) = 0.

Для ненулевого решения e^(rt) должен быть ненулевым, поэтому рассмотрим уравнение: r^2 + 4 = 0.

Решим квадратное уравнение: r^2 = -4, r = ±√(-4) = ±2i.

Таким образом, общее решение однородной части имеет вид: y_h(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Частное решение для неоднородной правой части: Для нахождения частного решения воспользуемся методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид y_p = A*e^(-3x), где A - неизвестная константа.

Подставим y_p в исходное уравнение: y_p'' + 4y_p = (Ae^(-3x))'' + 4(Ae^(-3x)) = -9Ae^(-3x) + 4Ae^(-3x) = -5Ae^(-3x).

Чтобы правая часть совпала с e^(-3x), необходимо, чтобы -5A*e^(-3x) было равно e^(-3x). Следовательно, -5A = 1, и A = -1/5.

Таким образом, частное решение для неоднородной правой части равно: y_p(x) = -1/5 * e^(-3x).

3. Найдем значения произвольных постоянных C1 и C2 из начальных условий: y(0) = C1cos(0) + C2sin(0) = 0, C10 + C20 = 0, C1 = 0.

y'(0) = -2C1sin(0) + 2C2cos(0) = 0, -2C10 + 2C21 = 0, C2 = 0.

Таким образом, C1 = C2 = 0.

4. Наконец, общее решение дифференциального уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = 0 + (-1/5) * e^(-3x) = -1/5 * e^(-3x).

Ответ: y(x) = -1/5 * e^(-3x).