Question

(X^2+2x)dy=e^2y dx как решить

Answer 1

Делим обе части уравнения на (х + 3)(у + 2) получимdy/(y + 2) = dx/(x + 3)Интегрируем обе частиПолучаемln(y + 2) + Const = ln(x + 3) lnC(y + 2) = ln(x + 3) потенциируем обе частиПолучимС(y + 2) = x + 3Из дополнительных условий, подставляя y = 3 и x = 2 определяем константу С:3С + 2С = 2 + 35С = 5Следовательно, С = 1 и у + 2 = x + 3 илиy = x + 1

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, выразим переменные x и y на разные стороны уравнения:

$(x^2 + 2x)dy = e^{2y} dx$

Разделим обе части уравнения на соответствующие переменные:

$\frac{dy}{e^{2y}} = \frac{dx}{x^2 + 2x}$

Теперь проинтегрируем обе стороны. Начнем с левой стороны:

$\int \frac{dy}{e^{2y}} = \int e^{-2y} dy = -\frac{1}{2} e^{-2y} + C_1$,

где $C_1$ - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь проинтегрируем правую сторону:

$\int \frac{dx}{x^2 + 2x}$.

Для интегрирования данного выражения, сначала завершим квадрат в знаменателе:

$x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1$.

Теперь выразим замену $u = x + 1$, тогда $du = dx$:

$\int \frac{dx}{x^2 + 2x} = \int \frac{du}{u^2 - 1}$.

Далее, разложим дробь на простые дроби:

$\frac{1}{u^2 - 1} = \frac{A}{u - 1} + \frac{B}{u + 1}$.

Умножим обе части на $(u - 1)(u + 1)$:

$1 = A(u + 1) + B(u - 1)$.

Подставим значения $u = 1$ и $u = -1$ для нахождения коэффициентов $A$ и $B$:

$1 = A(1 + 1) + B(1 - 1) = 2A$ => $A = \frac{1}{2}$,

$1 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1) = -2B$ => $B = -\frac{1}{2}$.

Теперь интегрируем:

$\int \frac{dx}{x^2 + 2x} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u - 1} - \frac{1}{2} \int \frac{du}{u + 1}$.

Интегралы от простых дробей дадут:

$\frac{1}{2} \ln|u - 1| - \frac{1}{2} \ln|u + 1| + C_2$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$, заменяя $u$ обратно на $x + 1$:

$\frac{1}{2} \ln|x + 1 - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1 + 1| + C_2$