Question

Из точки М биссектрисы тупого угла О проведены перпендикуляры МА и МВ к сторонам этого угла. Верно ли утверждение: АВ перпендикулярен ОМ?

Answer 1

ΔАОМ=ΔВОМ - по гипотенузе и острому углу. Тогда АМ=ВМ и ∠ВМО=∠АМО. Пусть точка пересечения ОМ и АВ будет К. ΔАВМ- равнобедренный. В нем биссектриса МК- и высота. Значит МК ⊥АВ, но МК часть МО. отсюда МО⊥АВ ч.т.д.

Answer 2

Да, верно, что AB перпендикулярен OM.

При проведении биссектрисы тупого угла O и перпендикуляров MA и MB к его сторонам, образуется прямоугольный треугольник OMA и OMB, так как перпендикуляр к стороне треугольника делит угол на два равных угла.

Таким образом, в треугольниках OMA и OMB угол O равен 90 градусам, и OM является гипотенузой. А, как известно из свойств прямоугольного треугольника, гипотенуза перпендикулярна к каждому из катетов (в данном случае, к MA и MB).

Таким образом, AB (катеты) перпендикулярны к OM (гипотенуза) в треугольниках OMA и OMB, а значит, AB также перпендикулярен к OM.