Question

Помогите пожалуйста Нужно найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 3yy'=x^2, y(-3)=-2

Answer 1

$3yy'=x^2$ . Данное уравнение относится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

$3ydy=x^2dx$                     $(\star)$ 
Уравнение  $(\star)$ называют дифференциальным уравнением с разделёнными переменными. После этого можно проинтегрировать левую и правую части равенства  $(\star)$

$\displaystyle \int 3ydy=\int x^2dx~~~\Rightarrow~~~ \frac{3y^2}{2} = \frac{x^3}{3} +C$  - общий интеграл.

Осталось определить частный интеграл, подставляя начальные условия:
$\dfrac{3\cdot(-2)^2}{2}= \dfrac{(-3)^3}{3}+C~~~\Rightarrow~~ 6=-9+C~~~\Rightarrow~~~ C=15$

$\boxed{\dfrac{3y^2}{2} = \dfrac{x^3}{3} +15}$    -ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Answer 2

Для того чтобы найти частное решение дифференциального уравнения с начальным условием, мы можем использовать метод разделения переменных и интегрирования.

Дано дифференциальное уравнение: $3yy' = x^2$

И начальное условие: $y(-3) = -2$

Шаг 1: Разделим уравнение на $3y$ и переместим все $y$-зависимые части влево, а $x$-зависимые вправо: $\frac{1}{y} dy = \frac{x^2}{3} dx$

Шаг 2: Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения относительно их переменных:

$\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{x^2}{3} dx$

Шаг 3: Проинтегрируем обе части уравнения:

$\ln |y| = \frac{x^3}{9} + C$

где $C$ - постоянная интегрирования.

Шаг 4: Применим начальное условие $y(-3) = -2$ для определения постоянной $C$:

$\ln |-2| = \frac{(-3)^3}{9} + C$

$\ln 2 = -1 + C$

$C = \ln 2 + 1$

Таким образом, частное решение уравнения будет:

$\ln |y| = \frac{x^3}{9} + \ln 2 + 1$

$|y| = e^{\frac{x^3}{9} + \ln 2 + 1}$

$y = \pm e^{\frac{x^3}{9} + \ln 2 + 1}$

$y = \pm e^{\frac{x^3}{9}} \cdot e^{\ln 2 + 1}$

$y = \pm 2e \cdot e^{\frac{x^3}{9}}$

Таким образом, уравнение имеет два частных решения:

$y = 2e \cdot e^{\frac{x^3}{9}}$

или

$y = -2e \cdot e^{\frac{x^3}{9}}$

При этом начальное условие $y(-3) = -2$ удовлетворено, если мы выберем отрицательный знак:

$y = -2e \cdot e^{\frac{x^3}{9}}$