Question

Решить уравнение!!!! 2(x+y)dy+(3x+2y-1)dx=0 y(0)=2

Answer 1

Посмотрите предложенное решение.
Проверка не проводилась, оформление не соблюдалось.

Answer 2

Для решения данного уравнения, можно воспользоваться методом разделения переменных. Сначала разделим дифференциальное уравнение на 2:

(dy/dx) + (3x+2y-1)/(2(x+y)) = 0

Теперь переместим все слагаемые, содержащие y, в одну сторону уравнения, а все слагаемые с x в другую:

(dy/dx) = (1 - (3x+2y-1)/(2(x+y)))

Далее, разделим числитель и знаменатель во втором слагаемом на 2:

(dy/dx) = (1 - (3x/2 + y - 1/2)/(x+y))

Теперь заменим y на v(x) (замена переменных):

dy = dv(x)

(dy/dx) = dv(x)/dx

Таким образом, уравнение примет вид:

dv(x)/dx = 1 - (3x/2 + v(x) - 1/2)/(x + v(x))

Теперь разделим на (x + v(x)):

dv(x)/dx = (2(x+v(x)) - (3x + 1))/(2(x + v(x)))

Теперь можно разделить переменные, переместив все слагаемые с v(x) в одну часть уравнения:

(2(x + v(x))/((2(x + v(x))) - (3x + 1))) dv(x) = dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(2(x + v(x))/((2(x + v(x))) - (3x + 1))) dv(x) = ∫dx

Интегрирование левой стороны может быть не таким очевидным, поэтому проведем замену:

u = 2(x + v(x))

Тогда, du/dx = 2 + dv(x)/dx

dv(x)/dx = du/dx - 2

Теперь уравнение примет вид:

∫(1/u) du = ∫dx

ln|u| + C1 = x + C2

где C1 и C2 - константы интегрирования.

Теперь подставим обратно u и v(x):

ln|2(x + v(x))| = x + C

где C = C2 - C1 - ln|2|

Теперь решим уравнение относительно v(x):

2(x + v(x)) = e^(x + C)

2(x + v(x)) = e^x * e^C

2(x + v(x)) = C' * e^x, где C' = e^C

Теперь разрешим уравнение относительно v(x):

v(x) = (C' * e^x - 2x) / 2

Теперь найдем значение C':

v(0) = (C' * e^0 - 2 * 0) / 2 = (C' - 0) / 2 = C' / 2

По условию, y(0) = 2, а это означает, что v(0) = 2:

C' / 2 = 2

C' = 4

Таким образом, окончательное решение для v(x):

v(x) = (4 * e^x - 2x) / 2

Теперь вспомним о замене переменных y = v(x) и найдем значение y:

y = (4 * e^x - 2x) / 2

Ответ:

y = 2 * e^x - x - 1