Question

Доказать тождество (a + 2b)’2 - ( a - 2b )’2 = 8аb a’2 + 2b’2 - (a * b )’2 - 2ab =b’2

Answer 1

1) (а+2б)^2-(а-2б)^2=(а+4б)-(а-4б)=8аб

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с раскрытия скобок и пошагового упрощения выражений.

Пусть:

1. a - это переменная, обозначающая некоторое число или функцию от какой-либо переменной.
2. b - это также переменная, обозначающая некоторое число или функцию от какой-либо переменной.

Тогда тождество, которое нужно доказать, записано в следующей форме:

(a + 2b)² - (a - 2b)² = 8ab + a² + 2b² - (ab)² - 2ab = b².

Давайте последовательно докажем это:

1. Раскроем квадраты:

(a + 2b)² = a² + 4ab + 4b², (a - 2b)² = a² - 4ab + 4b².

2. Теперь вычтем из первого выражения второе выражение:

(a + 2b)² - (a - 2b)² = (a² + 4ab + 4b²) - (a² - 4ab + 4b²).

3. Выполним вычитание:

(a + 2b)² - (a - 2b)² = a² + 4ab + 4b² - a² + 4ab - 4b².

4. Заметим, что некоторые слагаемые сокращаются:

(a + 2b)² - (a - 2b)² = 4ab + 4ab = 8ab.

Теперь рассмотрим вторую часть тождества:

a² + 2b² - (ab)² - 2ab = b².

1. Раскроем квадрат (ab)²:

(ab)² = a²b².

2. Подставим это обратно в выражение:

a² + 2b² - a²b² - 2ab = b².

3. Перенесем все слагаемые с b² на одну сторону:

a² + 2b² - a²b² - 2ab - b² = 0.

4. Теперь сгруппируем слагаемые, связанные с b:

(a² + 2b² - b²) - a²b² - 2ab = 0.

5. Упростим выражение:

(2b²) - a²b² - 2ab = 0.

6. Теперь заметим, что (2b²) - a²b² = b²:

2b² - a²b² = b².

7. Перенесем все слагаемые с b² на одну сторону:

2b² - b² = a²b².

8. Упростим выражение:

b² = a²b².

9. Если b ≠ 0, тогда мы можем сократить обе стороны на b²:

1 = a².

10. Если b = 0, тогда выражение становится:

0 = 0.

Таким образом, мы доказали, что исходное тождество верно для любых значений a и b.