Question

Помогите пожалуйста найти предел и производную, буду очень благодарна!!! 1) lim>2 (7-3x)^(3x/(2-x)) 2) производная от (1/корень в 5 степени из lnsin2x)'

Answer 1

$1)\; \; \lim\limits _{x \to 2}(7-3x)^{\frac{3x}{2-x}}=\lim\limits _{x \to 2}(1+\underbrace {(6-3x)}_{\to 0})^{\frac{1}{6-3x}\cdot \frac{3x\cdot (6-3x)}{2-x}}=\\\\=\lim\limits _{x \to 2} \Big (\underbrace {(1+(6-3x))^{\frac{1}{6-3x}}}_{e}\Big )^{\frac{3x\cdot 3\cdot (2-x)}{2-x}}=e^{ \lim\limits _{x \to 2}9x}=e^{18}$

$2)\; \; (\frac{1}{ \sqrt[5]{ln\, sin2x} })'=-\frac{1}{5}\cdot (ln\, sin2x)^{-\frac{6}{5}}\cdot (ln\, sin2x)'=\\\\=-\frac{1}{5\cdot \sqrt[5]{(ln\, sin2x)^6}}\cdot \frac{1}{sin2x}\cdot cos2x\cdot 2=-\frac{2\cdot ctg2x}{5\cdot \sqrt[5]{(ln\, sin2x)^6}}$

Answer 2

Да, конечно, я помогу найти предел и производную.

1. Найдем предел функции (7-3x)^(3x/(2-x)) при x -> 2:

Для этого подставим x = 2 в функцию и найдем предел:

lim(x -> 2) [(7-3x)^(3x/(2-x))]

lim(x -> 2) [(7-32)^(32/(2-2))]

lim(x -> 2) [(7-6)^0]

Теперь у нас в степени получилась 0, что означает, что функция принимает вид 1^0. Значение 1 в любой степени равно 1, поэтому:

lim(x -> 2) [(7-3x)^(3x/(2-x))] = 1

2. Теперь найдем производную от функции (1/корень из 5 степени из lnsin2x).

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования функции вида u^(1/n), где u - функция от x:

(d/dx) [u^(1/n)] = (1/n) * u^((1/n) - 1) * (du/dx)

В нашем случае, u = lnsin2x, n = 5:

(d/dx) [(1/корень из 5 степени из lnsin2x)]

= (1/5) * (lnsin2x)^(1/5 - 1) * (d/dx) [lnsin2x]

Теперь найдем производную функции lnsin2x:

(d/dx) [lnsin2x]

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования композиции функций (chain rule):

(d/dx) [ln(u)] = (1/u) * (du/dx)

где в нашем случае u = sin2x:

(d/dx) [lnsin2x] = (1/sin2x) * (d/dx) [sin2x]

Теперь найдем производную sin2x:

(d/dx) [sin2x] = 2 * cos2x

Таким образом, продолжая цепочку дифференцирования, получаем:

(d/dx) [lnsin2x] = (1/sin2x) * (d/dx) [sin2x] = (1/sin2x) * 2 * cos2x = 2cot2x

Теперь вернемся к исходной задаче:

(d/dx) [(1/корень из 5 степени из lnsin2x)]

= (1/5) * (lnsin2x)^(1/5 - 1) * 2cot2x

= (1/5) * (lnsin2x)^(-4/5) * 2cot2x

Таким образом, производная от (1/корень из 5 степени из lnsin2x) равна:

(1/5) * (lnsin2x)^(-4/5) * 2cot2x

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задать их.