Question

Какое минимальное количество клеток изначально белой доски 6×6 нужно закрасить чёрным цветом так, чтобы внутри всякого прямоугольника 2×3 (или 3×2) нашлась хотя бы одна чёрная клетка?

Answer 1

6 - проверенный ответ

Answer 2

Чтобы внутри всякого прямоугольника 2×3 (или 3×2) нашлась хотя бы одна чёрная клетка, можно использовать метод доказательства от противного. Допустим, мы закрасили только одну клетку внутри каждого такого прямоугольника белым цветом. Рассмотрим ситуацию, когда все прямоугольники 2×3 на доске закрашены таким образом:

Copy code
WBWBWB
BWBWBW
WBWBWB
BWBWBW
WBWBWB
BWBWBW

Где W - белая клетка, B - черная клетка.

Теперь рассмотрим горизонтальные прямоугольники 3×2:

Copy code
BBB
WWW
BBB
WWW
BBB
WWW

В каждом из этих прямоугольников у нас не окажется черных клеток, так как у нас только одна черная клетка внутри каждого прямоугольника 2×3.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение неверно. Значит, в каждом прямоугольнике 2×3 должна быть хотя бы одна черная клетка.

Теперь, чтобы найти минимальное количество черных клеток, которые нужно закрасить, давайте рассмотрим следующую расстановку:

Copy code
BBB
BBB
BBB
BBB
BBB
BBB

В этой расстановке у нас внутри каждого прямоугольника 2×3 есть хотя бы одна черная клетка, и при этом нам потребовалось закрасить всего 12 клеток (6 прямоугольников 2×3 по 2 черные клетки в каждом).

Таким образом, минимальное количество клеток изначально белой доски 6×6, которые нужно закрасить черным цветом, равно 12.