Question

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найдите периметр треугольника.

Answer 1

Пусть дан треугольник ABC, AB - гипотенуза. Пусть M -- точка касания окружности с AB, K -- с AC, F -- с CB.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,
AK = AM = 6 см
BF = BM = 4 см
CK = CF
Обозначим за x см отрезок CK. Найдём стороны треугольника ABC:
AB = AM + BM = 6 + 4 = 10 см
AC = AK + CK = (6 + x) см
BC = BF + CF = (4 + x) см

Найдём x по теореме Пифагора:
AC² + BC² = AB²
(6 + x)² + (4 + x)² = 10²
36 + 12x + x² + 16 + 8x + x² = 100
2x² + 20x - 48 = 0
x² + 10x - 24 = 0

x₁ = 2
x₂ = -12 (не подходит, так как меньше нуля)

x = 2, откуда
AC = AK + CK = 6 + x = 6 + 2 = 8 см
BC = BF + CF = 4 + x  = 4 + 2 = 6 см

PΔABC = AC + CB + AB = 8 + 6 + 10 = 24 см

Ответ: 24 см

Answer 2

Пусть треугольник ABC является прямоугольным, причем AC - гипотенуза, а BD - радиус вписанной окружности, где D - точка касания окружности с гипотенузой.

Так как точка касания делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см, то:

AD = 4 см, DC = 6 см.

Теперь используем свойство вписанной окружности, которое гласит, что касательная к окружности, проведенная из точки касания, делит касаемый хорду пополам. Это означает, что:

BD = CD.

Теперь мы можем найти все стороны треугольника. Заметим, что треугольник BCD является прямоугольным, так как он является треугольником с радиусом вписанной окружности и его касательной.

Итак, применяя теорему Пифагора к треугольнику BCD, мы можем выразить BD через AD и CD:

BD^2 = AD^2 + CD^2, BD^2 = 4^2 + 6^2, BD^2 = 16 + 36, BD^2 = 52, BD = √52 = 2√13.

Так как BD = CD, то CD = 2√13 см.

Теперь можем найти AC, используя тот факт, что AD + DC = AC:

AC = AD + DC, AC = 4 см + 6 см, AC = 10 см.

Теперь у нас есть все стороны треугольника: AB = BD + AD = 2√13 + 4 см, BC = CD + DC = 2√13 + 6 см и AC = 10 см.

Теперь мы можем найти периметр треугольника, просто сложив все его стороны:

Периметр = AB + BC + AC, Периметр = (2√13 + 4) см + (2√13 + 6) см + 10 см, Периметр = 4√13 + 20 см.

Ответ: Периметр треугольника равен 4√13 + 20 см.