Question

Найдите следующие интегралы: ∫x⁻³ dx ∫3ˣ dx ∫(x³+4x₂-3x)dx ∫(cos x+5x⁷)dx

Answer 1

Все интегралы табличные:
1) -1/(2x^2) + C
2) 3^x / ln3 + C
3) x^4/4 + 4x^3/3 - 3x^2/2 + C
4) sinx + 5x^8/8 + C

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый интеграл по отдельности:

1. ∫x⁻³ dx

Интегрирование x⁻³ даёт нам:

∫x⁻³ dx = ∫(1/x³) dx = -1/(2x²) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

2. ∫3ˣ dx

Интегрирование 3ˣ даёт:

∫3ˣ dx = (3/ln(3)) * 3ˣ + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

3. ∫(x³ + 4x² - 3x)dx

Интегрирование каждого члена по отдельности:

∫x³ dx = x⁴/4 + C₁, ∫4x² dx = 4x³/3 + C₂, ∫-3x dx = -3x²/2 + C₃.

Объединяем все части:

∫(x³ + 4x² - 3x)dx = x⁴/4 + 4x³/3 - 3x²/2 + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

4. ∫(cos x + 5x⁷)dx

Интегрирование cos x даёт:

∫cos x dx = sin x + C₁,

где C₁ - произвольная постоянная интегрирования.

Интегрирование 5x⁷ даёт:

∫5x⁷ dx = 5 * (x⁸/8) + C₂,

где C₂ - произвольная постоянная интегрирования.

Объединяем все части:

∫(cos x + 5x⁷)dx = sin x + 5 * (x⁸/8) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, интегралы:

1. ∫x⁻³ dx = -1/(2x²) + C₁,
2. ∫3ˣ dx = (3/ln(3)) * 3ˣ + C₂,
3. ∫(x³ + 4x² - 3x)dx = x⁴/4 + 4x³/3 - 3x²/2 + C₃,
4. ∫(cos x + 5x⁷)dx = sin x + 5 * (x⁸/8) + C.