Question

F(x)= 2x^2- x^4. Найти точки экстремума

Answer 1

F '(x)=2x^3-6x^2
2х^3-6x^2=0
x^3-3x^2=0
x=0 или x-3=0
x=3

Answer 2

Для найти точки экстремума функции F(x) = 2x^2 - x^4, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции F(x) по переменной x.
2. Найдите значения x, при которых производная равна нулю. Эти значения будут кандидатами на точки экстремума.
3. Для каждого найденного значения x вычислите вторую производную F''(x).
4. Определите характер точки экстремума, исследуя знак второй производной.

Шаг 1: Найдем производную функции F(x):

F'(x) = d/dx (2x^2 - x^4) F'(x) = 4x - 4x^3

Шаг 2: Найдем значения x, при которых производная равна нулю:

4x - 4x^3 = 0

Выносим общий множитель:

4x(1 - x^2) = 0

Таким образом, у нас есть два значения x: x = 0 и x = ±1.

Шаг 3: Вычислим вторую производную F''(x):

F''(x) = d/dx (4x - 4x^3) F''(x) = 4 - 12x^2

Шаг 4: Определим характер точек экстремума:

a) x = 0: F''(0) = 4 - 12 * 0^2 = 4 При x = 0, вторая производная положительна, следовательно, это точка минимума.

b) x = 1: F''(1) = 4 - 12 * 1^2 = 4 - 12 = -8 При x = 1, вторая производная отрицательна, следовательно, это точка максимума.

c) x = -1: F''(-1) = 4 - 12 * (-1)^2 = 4 - 12 = -8 При x = -1, вторая производная отрицательна, следовательно, это также точка максимума.

Итак, точки экстремума функции F(x) = 2x^2 - x^4:

• Точка минимума: (0, 0)
• Точка максимума: (1, 1) и (-1, 1)