Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке y=x^3+3x^2-72x+90 [-5;5]

Answer 1

Ответ и решение на фото

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке, сначала найдем её критические точки внутри интервала, а также значения функции на концах отрезка.

1. Найдем критические точки функции: Критические точки соответствуют местам, где производная функции равна нулю или не существует. Для этой функции найдем производную:

y = x^3 + 3x^2 - 72x + 90

y' = 3x^2 + 6x - 72

Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю:

3x^2 + 6x - 72 = 0

Решим уравнение:

x^2 + 2x - 24 = 0

Факторизуем:

(x + 6)(x - 4) = 0

Таким образом, получаем две критические точки: x = -6 и x = 4.

2. Найдем значения функции на концах отрезка:

a) Для x = -5:

y = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 72(-5) + 90 y = -125 + 75 + 360 + 90 y = 400

b) Для x = 5:

y = 5^3 + 3(5)^2 - 72(5) + 90 y = 125 + 75 - 360 + 90 y = -70

3. Найдем значения функции в критических точках:

a) Для x = -6:

y = (-6)^3 + 3(-6)^2 - 72(-6) + 90 y = -216 + 108 + 432 + 90 y = 414

b) Для x = 4:

y = 4^3 + 3(4)^2 - 72(4) + 90 y = 64 + 48 - 288 + 90 y = -86

Теперь у нас есть следующие значения функции:

x = -5, y = 400 x = -6, y = 414 x = 4, y = -86 x = 5, y = -70

4. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:

Наибольшее значение: 414 (достигается в точке x = -6) Наименьшее значение: -86 (достигается в точке x = 4)