Question

Найти область определения функции :а) y=√x^2+1б) у=√х^2-9х+18в) у=√х+2/х

Answer 1

А)
$x ^{2} + 1 \geqslant 0$
Х=все числа
б)
$x ^{2} - 9x + 18 \geqslant 0$
$( - \infty .3 ) \: u \: (6. + \infty )$

3 и 6 включительно
в)
$x + \frac{2}{x} \geqslant 0$
$(0. + \infty )$

Answer 2

Чтобы найти область определения функций, нужно определить значения переменных, при которых функции имеют смысл. Важно обратить внимание на два фактора: корень (неотрицательное значение выражения под корнем) и знаменатель (не равен нулю, так как деление на ноль недопустимо).

а) y = √(x^2 + 1)

Выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому x^2 + 1 ≥ 0. Это неравенство всегда выполняется для любого значения x, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Таким образом, область определения функции y = √(x^2 + 1) - это множество всех действительных чисел: D = (-∞, +∞).

б) y = √(x^2 - 9x + 18)

Теперь рассмотрим выражение под корнем x^2 - 9x + 18. Чтобы оно было неотрицательным, дискриминант этого квадратного трехчлена должен быть неотрицательным:

D = (-9)^2 - 4 * 1 * 18 ≥ 0 D = 81 - 72 ≥ 0 D = 9 ≥ 0

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня и выражение под корнем всегда будет неотрицательным. Область определения функции y = √(x^2 - 9x + 18) также включает все действительные числа: D = (-∞, +∞).

в) y = √(x + 2) / x

Здесь нам нужно учесть два фактора: значение под корнем и знаменатель.

1. Значение под корнем x + 2 должно быть неотрицательным: x + 2 ≥ 0 x ≥ -2

2. Знаменатель x не должен быть равен нулю, так как деление на ноль недопустимо: x ≠ 0

Таким образом, область определения функции y = √(x + 2) / x - это множество всех действительных чисел, кроме нуля, и чисел, больших -2: D = (-∞, -2) ∪ (-2, 0) ∪ (0, +∞).