Question

Интеграл х^2 *е^3х dx

Answer 1

На фото решение.
..............

Answer 2

Для вычисления данного интеграла ∫(x^2 * e^(3x)) dx, мы будем использовать метод интегрирования по частям (integration by parts).

Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫(u * dv) = u * v - ∫(v * du),

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

Для данного интеграла, давайте выберем:

u = x^2 (таким образом, du = 2x dx), dv = e^(3x) (таким образом, v = (1/3)e^(3x)).

Теперь, используем формулу интегрирования по частям:

∫(x^2 * e^(3x)) dx = x^2 * (1/3)e^(3x) - ∫((1/3)e^(3x) * 2x) dx

Упростим полученное выражение:

∫(x^2 * e^(3x)) dx = (1/3)x^2 * e^(3x) - (2/3)∫(x * e^(3x)) dx

Теперь у нас есть новый интеграл ∫(x * e^(3x)) dx, который мы также можем решить по частям. Для него выберем:

u = x (таким образом, du = dx), dv = e^(3x) (таким образом, v = (1/3)e^(3x)).

Применяем интегрирование по частям снова:

∫(x * e^(3x)) dx = x * (1/3)e^(3x) - ∫((1/3)e^(3x) * dx)

∫(x * e^(3x)) dx = (1/3)x * e^(3x) - (1/9)e^(3x) + C,

где C - произвольная константа интегрирования.

Теперь подставляем это значение в первоначальное уравнение:

∫(x^2 * e^(3x)) dx = (1/3)x^2 * e^(3x) - (2/3)((1/3)x * e^(3x) - (1/9)e^(3x)) + C

∫(x^2 * e^(3x)) dx = (1/3)x^2 * e^(3x) - (2/9)x * e^(3x) + (2/27)e^(3x) + C.

Итак, окончательное решение данного интеграла:

∫(x^2 * e^(3x)) dx = (1/3)x^2 * e^(3x) - (2/9)x * e^(3x) + (2/27)e^(3x) + C,

где C - произвольная константа интегрирования.