Question

Найти неопределенный интеграл 1)Интеграл dx/(5*x+3) 2) интеграл arctgxdx

Answer 1

$1)\; \int \frac{dx}{5x+3}=\frac{1}{5}\int \frac{d(5x+3)}{5x+3}=[\, \int \frac{du}{u}=ln|u|+C\; ,\; u=5x+3\, ]=\\\\=\frac{1}{5}\cdot ln|5x+3|+C\\\\2)\; \; \int arctgx\, dx=[\, u=arctgx,\; du=\frac{dx}{1+x^2},\; dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=x\, arctgx-\int \frac{x\, dx}{1+x^2}=x\, arctgx-\frac{1}{2}\int \frac{2x\, dx}{1+x^2}=[\, 2x\, dx=d(1+x^2)\, ]=\\\\=x\, arctgx-\frac{1}{2}\cdot ln|1+x^2|+C$

Answer 2

1. Интеграл ∫(dx / (5x + 3))

Для решения этого интеграла, воспользуемся методом замены переменной.

Пусть u = 5x + 3, тогда du/dx = 5, и dx = du / 5.

Заменяем переменную и получаем:

∫(dx / (5x + 3)) = ∫(du / (5u)) = (1/5) * ∫(du / u)

Теперь мы интегрируем простую функцию 1/u:

= (1/5) * ln|u| + C

Но не забудем вернуться к переменной x:

= (1/5) * ln|5x + 3| + C, где C - произвольная постоянная.

2. Интеграл ∫(arctg(x) dx)

Для решения этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям.

Пусть u = arctg(x), тогда du/dx = 1 / (1 + x^2), и dx = du * (1 + x^2).

Пусть dv = dx, тогда v = x.

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

∫(u dv) = uv - ∫(v du)

∫(arctg(x) dx) = x * arctg(x) - ∫(x * (1 / (1 + x^2)) dx)

Теперь решим интеграл ∫(x / (1 + x^2)) dx, сделав замену переменной: u = 1 + x^2, du/dx = 2x, и dx = du / (2x).

∫(x / (1 + x^2)) dx = ∫((1/u) * (1/2)) du = (1/2) * ∫(du / u) = (1/2) * ln|u| + C

Теперь вернемся к переменной x:

= (1/2) * ln|1 + x^2| + C

Таким образом, окончательный ответ:

∫(arctg(x) dx) = x * arctg(x) - (1/2) * ln|1 + x^2| + C, где C - произвольная постоянная.