Question

Найти производные заданных функций. (y=2x+5)/(x^2-2x+4)

Answer 1

ВОТ КАРТИНКА НАДЕЮСЬ ПОМОЖЕТ ТЕБЕ

Answer 2

Для нахождения производной функции y относительно переменной x, используем правила дифференцирования элементарных функций и правило деления производных.

Данная функция y = (2x + 5) / (x^2 - 2x + 4).

Для удобства, представим функцию в виде y = (2x + 5) * (x^2 - 2x + 4)^(-1).

Теперь применим правило дифференцирования произведения функций:

d/dx [u(x) * v(x)] = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).

Где u(x) = (2x + 5) и v(x) = (x^2 - 2x + 4)^(-1).

Вычислим производные отдельных функций:

1. Найдем производную u'(x):

u(x) = 2x + 5.

Производная по x от константы равна нулю, а производная от x по x равна 1, поэтому:

u'(x) = d/dx (2x + 5) = 2.

2. Найдем производную v'(x):

v(x) = (x^2 - 2x + 4)^(-1).

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции:

d/dx [f(x)^(-1)] = -[f'(x) / f(x)^2].

где f(x) = (x^2 - 2x + 4).

Теперь найдем производную f'(x):

f(x) = x^2 - 2x + 4.

f'(x) = d/dx (x^2 - 2x + 4) = 2x - 2.

Теперь найдем v'(x):

v'(x) = -[f'(x) / f(x)^2] = -[(2x - 2) / (x^2 - 2x + 4)^2].

Теперь, используем правило дифференцирования произведения:

d/dx [u(x) * v(x)] = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).

y'(x) = 2 * (x^2 - 2x + 4)^(-1) - (2x + 5) * [(2x - 2) / (x^2 - 2x + 4)^2].

Теперь упростим полученное выражение:

y'(x) = 2 / (x^2 - 2x + 4) - (2x + 5) * (2x - 2) / (x^2 - 2x + 4)^2.

y'(x) = 2 / (x^2 - 2x + 4) - (4x^2 - 4x + 10) / (x^2 - 2x + 4)^2.

Таким образом, производная функции y равна:

y'(x) = [2 - (4x^2 - 4x + 10)] / (x^2 - 2x + 4)^2.

y'(x) = (2 - 4x^2 + 4x - 10) / (x^2 - 2x + 4)^2.

y'(x) = (-4x^2 + 4x - 8) / (x^2 - 2x + 4)^2.

Итак, производная функции y равна (-4x^2 + 4x - 8) / (x^2 - 2x + 4)^2.