Question

Найдите наибольшее четырехзначное число которое при делении и на 80 и на 75 дает в остатке 23

Answer 1

Здравствуйте!

Ответ:

9623

Пошаговое объяснение:

Если нужное нам число дает остаток 23 по делении 75 и 80, то число, которое получается при вычитании 23 из нужного нам, делится нацело и на 75, и на 80.

Найдем НОК чисел 75 и 80 (1 фото).

НОК (75; 80)= 1200.

Теперь найдем наибольшее кратное числа 1200 среди 4-ёхзначных чисел. Для этого 9999 разделим на 1200 с остатком, а потом умножим целую часть кратного на 1200 (2 фото).

Получаем 9600. Это самое большое 4-ёхзначное число, которое делится и на 75, и на 80. А значит самое большое 4-ёхзначное число, которое делится и на 75, и на 80 с остатком 23 это:

9600+23=9623.

Answer 2

Чтобы найти наибольшее четырехзначное число, которое при делении как на 80, так и на 75, дает в остатке 23, мы можем использовать китайскую теорему об остатках.

Китайская теорема об остатках гласит, что если у нас есть система сравнений вида: x ≡ a (mod m) x ≡ b (mod n)

где "x" - неизвестное целое число, "a" и "b" - данные остатки, а "m" и "n" - числа, на которые производится деление, и если "m" и "n" являются взаимно простыми (то есть их наибольший общий делитель равен 1), то у этой системы уравнений существует решение "x" в пределах от 0 до (m * n) - 1.

В данном случае, нам нужно найти число "x" такое, что: x ≡ 23 (mod 80) x ≡ 23 (mod 75)

Теперь, чтобы решить эту систему, найдем решение для каждого отдельного модуля:

1. Для модуля 80: Поскольку у нас "x ≡ 23 (mod 80)", то это означает, что число "x" может быть представлено как "x = 80k + 23", где "k" - некоторое целое число.

2. Для модуля 75: Аналогично, у нас "x ≡ 23 (mod 75)", что означает, что "x" может быть представлено как "x = 75m + 23", где "m" - некоторое целое число.

Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное число "x", которое удовлетворяет обоим уравнениям. Мы можем это сделать, используя китайскую теорему об остатках.

Найдем такое целое число "k", которое удовлетворяет уравнению: 80k + 23 ≡ 23 (mod 75)

Решим это уравнение: 80k ≡ 0 (mod 75)

Теперь мы знаем, что 75 и 80 имеют общий делитель, равный 5. Чтобы упростить уравнение, разделим обе стороны на 5:

16k ≡ 0 (mod 15)

Решим это уравнение:

k = 15t, где "t" - некоторое целое число.

Теперь, чтобы найти наименьшее натуральное "k", удовлетворяющее условиям, возьмем наименьшее положительное значение для "t", то есть "t = 1". Тогда:

k = 15 * 1 = 15

Теперь, чтобы найти "x", подставим значение "k" в уравнение "x = 80k + 23":

x = 80 * 15 + 23 = 1200 + 23 = 1223

Таким образом, наибольшее четырехзначное число, которое при делении и на 80, и на 75, дает в остатке 23, равно 1223.