Question

Как разложить в ряд маклорена за известными разложениями функцию: e^x * sinx ?

Answer 1

E^x=1+x+(x^2/2)+(x^3/6)+...+(x^n/n!)
sinx=x-(x^3/6)+(x^5/120)+...+((-1)^n)*(x^2n/2n!)
e^x*sinx=x+x^2+(x^3/3)-(x^5/30)+....
Так можно перемножать бесконечно, так как не указано до какой степени разложить. Но если интересовал общий смысл, как это сделать, то можно по стандартным формулам разложить каждый из сомножителей(в нашем случае e^x и sinx и перемножить их разложение).

Answer 2

Чтобы разложить функцию $e^x \cdot \sin x$ в ряд Маклорена, мы должны использовать уже известные разложения для $e^x$ и $\sin x$.

Разложение для $e^x$ в ряд Маклорена: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots$

Разложение для $\sin x$ в ряд Маклорена: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots$

Теперь перемножим эти два разложения:

$e^x \cdot \sin x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots\right) \cdot \left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots\right)$

Чтобы получить разложение $e^x \cdot \sin x$ в ряд Маклорена, нужно перемножить каждый член первого разложения на каждый член второго разложения и сложить их.

Применяя правило умножения, мы получим:

$e^x \cdot \sin x = x + x^2 - \frac{x^4}{3!} - \frac{x^5}{3!} + \frac{x^7}{4!} + \frac{x^8}{4!} + \ldots$

Это и есть разложение $e^x \cdot \sin x$ в ряд Маклорена.