Question

Помогите решить две системы уравнений. первая система: x^2-y^3=2, 11x+3y^3=-14 вторая система: xy-x-y=-1, x^2+y^2=10

Answer 1

1)
x^2-y^3=2
11x+3y^3=-14

Из первого уравнения: y^3 = x^2 - 2
Подставим y^3 во второе уравнение:
11x + 3[ x^2 - 2 ] = -14
11x + 3x^2 - 6 = -14
3x^2 + 11x + 8 = 0
D = 11^2 - 4 3 8 = 121 - 96 = 25
x1 = (-11-5)/6 = -16/6 = - 8/3
x2 = (-11+5)/6 = -6/6 = -1
В выражение  y^3 = x^2 - 2 подставим x1 и x2:

y^3 = x1^2 - 2
y^3 = 64/9 - 2 
y^3 = 46/9
y1 = (46/9)^(1/3)

y^3 = x2^2 - 2
y^3 = 1 - 2
y^3 = -1
y2 = -1

Ответ: ( -8/3 ; (46/9)^(1/3) ), ( -1 ; -1 )

2)
xy - x - y = - 1
x^2 + y^2 = 10

Преобразуем второе уравнение:
x^2 + y^2 = 10
x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 2xy
(x+y)^2 = 10 + 2xy
xy = (1/2)(x+y)^2 - 5
Подставим выражение для xy в первое уравнение:
xy - x - y = - 1
(1/2)(x+y)^2 - 5 - x - y = - 1
(1/2)(x+y)^2 - (x+y) - 4 = 0
Обозначим x+y = t, тогда для t решаем уравнение:
t^2 /2 - t - 4 = 0
D = 1 - 4 (1/2) (-4) = 9
ta = 1 - 3 = -2
tb = 1 + 3 = 4
Получаем: x+y = t
Будем решать более удобную систему:
x^2 + y^2 = 10
x+y = t
(t - известно)
из второго уравнения: y = t - x
подставим в первое:
x^2 + (t - x)^2 = 10
2x^2 - 2tx + t^2-10 = 0
D = 4 - 4 2 (t^2-10) = 4 (21 - 2 t^2)
x1 = (1 - sqr[ 21-2 t^2] )/2
x2 = (1 - sqr[ 21-2 t^2] )/2
Из  y = t - x найдем:
y1 = t - (1 - sqr[ 21-2 t^2] )/2
y2 = t - (1 + sqr[ 21-2 t^2] )/2

Получаем 4 решения:

x1a = (1 - sqr[ 21-2 ta^2] )/2
y1a = t - (1 - sqr[ 21-2 ta^2] )/2

x1b = (1 - sqr[ 21-2 tb^2] )/2
y1b = t - (1 - sqr[ 21-2 tb^2] )/2

x2a = (1 + sqr[ 21-2 ta^2] )/2
y2a = t - (1 + sqr[ 21-2 ta^2] )/2

x2b = (1 + sqr[ 21-2 tb^2] )/2
y2b = t - (1 + sqr[ 21-2 tb^2] )/2

(ta = -2, tb = 4)
Система нестандартненькая, лучше проделайте решение сами или проверьте) Удачи =)
Хотя... знаете, вторую систему можно решить куда быстрее:

xy-x-y+1=0
x^2+y^2 = 10

первое уравнение:
xy-x-y+1=0
x(y-1)-(y-1)=0
(x-1)(y-1)=0
x=1 или y=1
Подставляем во второе уравнение:
x1=1:
x1^2+y^2 = 10
1+y^2=10
y^2=9
y1=-3
y2=3

y3=1
x^2+y3^2 = 10
x^2 + 1 = 10
x^2 = 9
x3 = -3
x4 = 3

Получаем ответ:
x1=1
y1=-3

x2=1
y2=3

x3=-3
y3=1

x4=3
y4=1

Еще раз удачи :-D

Answer 2

Ответ: ( -8/3 ; (46/9)^(1/3) ), ( -1 ; -1 )

Answer 3

Конечно! Для решения этих систем уравнений, мы можем воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания. Я продемонстрирую оба подхода.

Первая система уравнений:

1. x^2 - y^3 = 2
2. 11x + 3y^3 = -14

Метод подстановки: Шаг 1: Решаем первое уравнение относительно x: x^2 = y^3 + 2 x = ±√(y^3 + 2)

Шаг 2: Подставляем полученное значение x во второе уравнение: 11(±√(y^3 + 2)) + 3y^3 = -14

Теперь решим уравнение для y. Поскольку тут присутствует кубическое уравнение, точные значения могут быть сложно выразить в виде чисел. Если вам необходимы десятичные приближения, можно воспользоваться численными методами.

Метод сложения/вычитания: Шаг 1: Умножим первое уравнение на 3 и второе уравнение на 1, чтобы сделать коэффициенты при y^3 одинаковыми и сложим их, чтобы избавиться от y^3: 3(x^2 - y^3) + 1(11x + 3y^3) = 3(2) + (-14) 3x^2 - 2y^3 = -8

Шаг 2: Теперь у нас есть два уравнения:

1. x^2 - y^3 = 2
2. 3x^2 - 2y^3 = -8

Вычтем уравнение 1 из уравнения 2: 3x^2 - 2y^3 - (x^2 - y^3) = -8 - 2 2x^2 - y^3 = -10

Шаг 3: Теперь, чтобы найти значения y^3, выразим x^2 из этого уравнения: x^2 = (y^3 - 10) / 2

Шаг 4: Теперь подставим найденное значение x^2 в уравнение 1: (y^3 - 10) / 2 - y^3 = 2

Упростим уравнение и найдем значения y^3: (y^3 - 10) - 2y^3 = 4 -y^3 - 10 = 4 -y^3 = 14 y^3 = -14

Теперь найдем значения x, подставив найденное значение y^3 в уравнение для x^2: x^2 = (y^3 - 10) / 2 x^2 = (-14 - 10) / 2 x^2 = -12 x = ±√(-12)

Таким образом, первая система уравнений имеет два решения: (x, y) = (√(-12), -∛14) и (x, y) = (-√(-12), -∛14).

Теперь перейдем ко второй системе уравнений:

1. xy - x - y = -1
2. x^2 + y^2 = 10

Метод подстановки: Шаг 1: Решаем первое уравнение относительно y: y = (x - 1) / (x - 1)

Обратите внимание, что у нас получилась константа. Это означает, что уравнение 1 не дает нам новой информации. Мы можем перейти к уравнению 2:

Шаг 2: Подставляем y из уравнения 1 во второе уравнение: x^2 + ((x - 1) / (x - 1))^2 = 10 x^2 + 1 = 10 x^2 = 9 x = ±√9 x = ±3

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив значения x в уравнение 1: y = (x - 1) / (x - 1)

Для x = 3: y = (3 - 1) / (3 - 1) = 2/2 = 1 Для x = -3: y = (-3 - 1) / (-3 - 1) = -4/-4 = 1

Таким образом, вторая система уравнений имеет два решения: (x, y) = (3, 1) и (x, y) = (-3, 1).