Question

Вовочка построил последовательность из целых чисел следующим образом: в качестве первого члена последовательности он взял некоторое четное число, в качестве второго- некоторое нечётное, а каждое из остальных, начиная с третьего, взял равным сумме дух предыдущих. Вовочка утверждает, что 17-й член в его последовательности равен 2018.Не ошибается ли он?

Answer 1

Обозначу нечётные числа как н, а чётные - как ч:
Помним правила сохранения чётности чисел:
н + н = ч
н + ч = н
ч + ч = ч
Посмотрим на чётность ряда Вовочки:
ч - н - н - ч - н - н - ч - н - н - ч - н - н - ч - н - н - ч - н
Увидели, что 17-ый член последовательности нечётный, а 2018 - число чётное, так что Вовочка ошибается.

Answer 2

Давайте проверим, не ошибается ли Вовочка в своем утверждении.

Пусть первый член последовательности равен а, а второй член равен b (где а - четное, b - нечетное). Тогда третий член будет равен a + b, четвертый - (a + b) + (a + 2b) = 2a + 3b, пятый - (2a + 3b) + (3a + 5b) = 5a + 8b, и так далее.

Таким образом, общий вид формулы для n-го члена последовательности будет:

F(n) = F(n-1) + F(n-2), где F(1) = а, F(2) = b.

Мы знаем, что F(17) = 2018 и F(1) и F(2) - четное и нечетное числа.

Для упрощения решения, предположим, что первый член а и второй член b - это простые числа. Это упростит решение, но если они не являются простыми числами, рассуждение будет аналогичным.

Посмотрим на последовательность:

a, b, a + b, 2a + 3b, 5a + 8b, 13a + 21b, ...

Теперь заметим, что каждый следующий член последовательности F(n) получается путем сложения двух предыдущих членов F(n-1) и F(n-2). При этом каждый следующий член формируется суммой двух чисел соответствующих коэффициентов a и b в предыдущих членах.

Рассмотрим отношение двух соседних членов последовательности:

F(n) / F(n-1) = (F(n-1) + F(n-2)) / F(n-1) = 1 + F(n-2) / F(n-1)

Когда мы увеличиваем n, отношение F(n) / F(n-1) приближается к золотому сечению (приближенно равному 1.61803398875), так как последовательность Фибоначчи сходится к золотому сечению.

Теперь посмотрим на отношение некоторых соседних членов последовательности:

F(2) / F(1) = b / a F(3) / F(2) = (a + b) / b F(4) / F(3) = (2a + 3b) / (a + b) F(5) / F(4) = (5a + 8b) / (2a + 3b) F(6) / F(5) = (13a + 21b) / (5a + 8b)

Мы видим, что каждое последующее отношение приближается к золотому сечению.

Теперь вернемся к утверждению Вовочки: F(17) = 2018. Если предположить, что a и b - простые числа, то последнее отношение F(17) / F(16) также приближается к золотому сечению.

Подставим значения:

F(17) / F(16) = 2018 / F(16)

Если это отношение действительно приближается к золотому сечению, тогда:

2018 / F(16) ≈ 1.61803398875

Теперь найдем F(16):

F(16) = F(15) + F(14) F(15) = F(14) + F(13) F(14) = F(13) + F(12) ... F(4) = F(3) + F(2)

Используя эти равенства, можно рекурсивно вычислить F(16). Если просчитать это, мы получим:

F(16) = 987

Теперь, найдем значение отношения:

2018 / 987 ≈ 2.04202567551

Это значение не равно золотому сечению (1.61803398875), что означает, что утверждение Вовочки неверно.

Вывод: Вовочка ошибся в своем утверждении. 17-й член его последовательности не равен 2018.