Question

1)Частное решение ДУ в полных дифференциалах. e^ydx+(cosy+xe^y)dy=0 2)Частное решение линейного ДУ первого порядка y'+2xy=-2x^3; y(0)=-1; y'(0)=-2 Заранее спасибо!

Answer 1

Вы не указали дополнительное условие для первой задачи, поэтому я просто взял условие y(x0) = y0. Решение на картинках, удачи :)

Answer 2

1. Чтобы найти частное решение данного дифференциального уравнения (ДУ) в полных дифференциалах, нужно проверить, может ли данное уравнение быть представлено в виде полного дифференциала функции некоторой переменной. Для этого проверим, является ли выражение e^ydx + (cosy + xe^y)dy производной некоторой функции F(x, y).

Уравнение вида M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция F(x, y), что:

dF = M(x, y)dx + N(x, y)dy.

Если такая функция F существует, то уравнение называется "точным" и может быть решено путем интегрирования.

Для нашего уравнения e^ydx + (cosy + xe^y)dy = 0:

M(x, y) = e^y N(x, y) = cosy + xe^y

Для того чтобы найти F(x, y), найдем частные производные F по x и y:

∂F/∂x = ∂F/∂x (∫M dx) = ∂F/∂x (∫e^y dx) = ∂F/∂x (xe^y + C1) = e^y, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

∂F/∂y = ∂F/∂y (∫N dy) = ∂F/∂y (∫(cosy + xe^y)dy) = ∂F/∂y (sin(y) + x * e^y + C2) = cos(y) + xe^y, где C2 - еще одна произвольная постоянная интегрирования.

Теперь сравним частные производные ∂F/∂x и ∂F/∂y с соответствующими частными производными M(x, y) и N(x, y):

∂F/∂x = M(x, y) и ∂F/∂y = N(x, y).

Получили, что уравнение имеет частное решение в полных дифференциалах, и функция F(x, y) равна:

F(x, y) = ∫(e^y dx) = xe^y + C1(x),

где C1(x) - произвольная функция только от x (постоянная интегрирования может быть произвольной функцией только от той переменной, по которой интегрировали).

Таким образом, общее решение исходного уравнения:

xe^y + C1(x) + C2(y) = 0,

где C1(x) и C2(y) - произвольные функции.

2. Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y' + 2xy = -2x^3 с начальными условиями y(0) = -1 и y'(0) = -2, воспользуемся методом вариации постоянной.

1. Найдем общее решение однородного уравнения: y' + 2xy = 0.

Это уравнение можно записать в виде:

dy/dx = -2xy.

Разделяя переменные, получим:

dy/y = -2xdx.

Теперь проинтегрируем обе части:

∫(1/y)dy = ∫(-2x)dx.

ln|y| = -x^2 + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, общее решение однородного уравнения:

|y| = e^(-x^2 + C).

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения: y' + 2xy = -2x^3.

Для этого предположим, что частное решение имеет вид y_p = A(x)x^3, где A(x) - функция, которую нужно найти.

Тогда найдем производные:

y_p' = 3A(x)x^2 + A'(x)x^3, y_p'' = 6A(x)x + 6A'(x)x^2 + A''(x)x^3.

Подставим y_p и его производные в исходное уравнение:

(3A(x)x^2 + A'(x)x^3) + 2x(A(x)x^3) = -2x^3.

Упростим:

3A(x)x^2 + A'(x)x^3 + 2A(x)x^4 = -2x^3.

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x к нулю:

2A(x) = 0, (для степени x^3), 3A(x) = -2, (для степени x^2).

Отсюда A(x) = 0 (для степени x^3) и A(x) = -2/3 (для степени x^2).

3. Теперь составим частное решение y_p(x) = (-2/3)x^2.

4. Найдем частное решение исходного неоднородного уравнения с учетом начальных условий:

y = y_h + y_p, y = C*e^(-x^2) + (-2/3)x^2.

Теперь используем начальные условия:

y(0) = C*e^(0) + 0 = C, -1 = C.

Таким образом, C = -1.

Теперь найдем производную y по x:

dy/dx = d(C*e^(-x^2) + (-2/3)x^2)/dx, dy