Question

Даны вершины четырёхугольника : A (-9; 0), B(-3, +6), C(+3, +4), D(+6, -3). Найти точку пересечения его диагоналей AC и BD и вычеслить угол между ними.

Answer 1

Есть очень много способов чтоб добраться до этого угла, но я предпочла пойти по векторам

Answer 2

Для начала, найдем точку пересечения диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD.

1. Найдем уравнения прямых AC и BD: Для прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), уравнение имеет вид: y - y1 = m(x - x1), где m - наклон (угловой коэффициент) прямой, который можно вычислить как (y2 - y1) / (x2 - x1).

• Для диагонали AC: Точки A(-9, 0) и C(3, 4). m_AC = (4 - 0) / (3 - (-9)) = 4 / 12 = 1/3 Уравнение прямой AC: y - 0 = (1/3)(x - (-9))

• Для диагонали BD: Точки B(-3, 6) и D(6, -3). m_BD = (-3 - 6) / (6 - (-3)) = -9 / 9 = -1 Уравнение прямой BD: y - 6 = (-1)(x - (-3))

2. Найдем точку пересечения прямых AC и BD: Для этого приравняем уравнения прямых AC и BD и решим уравнение относительно x и y.

(1/3)(x + 9) = -1(x + 3) x/3 + 3 = -x - 3 x/3 + x = -6 4x = -18 x = -18 / 4 x = -4.5

Теперь подставим x в уравнение прямой AC: y - 0 = (1/3)(-4.5 - (-9)) y = (1/3)(4.5) y = 1.5

Таким образом, точка пересечения диагоналей AC и BD имеет координаты (-4.5, 1.5).

3. Вычислим угол между диагоналями AC и BD: Для этого воспользуемся теоремой косинусов, которая для треугольника с сторонами a, b и углом между ними C гласит: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(C)

Поскольку диагонали пересекаются в точке, они разбивают четырехугольник на два треугольника. Нам понадобятся длины сторон этих треугольников.

• Для треугольника ABC: Диагональ AC является гипотенузой, стороны треугольника ABC - это отрезки AB и BC. AB = √[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2] = √[(-3 - (-9))^2 + (6 - 0)^2] = √[6^2 + 6^2] = √72 BC = √[(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2] = √[(3 - (-3))^2 + (4 - 6)^2] = √[6^2 + 2^2] = √40

• Для треугольника BCD: Диагональ BD является гипотенузой, стороны треугольника BCD - это отрезки BC и CD. BC (уже вычислено) = √40 CD = √[(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2] = √[(6 - 3)^2 + (-3 - 4)^2] = √[3^2 + (-7)^2] = √58

Теперь, зная длины сторон треугольников, можем вычислить угол между диагоналями AC и BD, обозначим его как α:

cos(α) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC) cos(α) = (√72^2 + √40^2 - √13^2) / (2 * √72 * √40) cos(α) = (72 + 40 - 58) / (2 * √(72 * 40)) cos(α) = 54 / (2 * √(72 * 40)) cos(α) = 54 / (2 * √(144 * 10)) cos(α) = 54 / (2 * 12√10) cos(α) = 9 / (12√10) cos(α) = 3 / (4√10)

Теперь найдем сам угол α, воспользовавшись обратной функцией cos^(-1):

α = cos^(-1)(3 / (4√10)) α ≈ 32.18°

Таким образом, угол между диагоналями AC и BD четырехугольника ABCD составляет примерно 32.18°.