Question

Дана функция f(x)=x^3-2x^2+x+10. Найти f'(-2). Решительно неравенство f'(x)<=0

Answer 1

F'(x)=3x^2-4x+1
f'(-2)=3*(-2)^2-4*(-2)+1=12+8+1=21

Answer 2

Для начала найдем производную функции f(x):

f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 10

Чтобы найти производную f'(x), возьмем производную каждого слагаемого по отдельности:

f'(x) = d/dx (x^3) - d/dx (2x^2) + d/dx (x) + d/dx (10)

f'(x) = 3x^2 - 4x + 1

Теперь, чтобы найти значение производной f'(-2), подставим x = -2 в выражение для производной:

f'(-2) = 3(-2)^2 - 4(-2) + 1 f'(-2) = 3(4) + 8 + 1 f'(-2) = 12 + 8 + 1 f'(-2) = 21

Таким образом, f'(-2) = 21.

Теперь решим неравенство f'(x) ≤ 0:

3x^2 - 4x + 1 ≤ 0

Для решения неравенства найдем корни уравнения 3x^2 - 4x + 1 = 0:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4

Корни уравнения:

x = (-b + √D) / 2a = (4 + √4) / 23 = (4 + 2) / 6 = 6 / 6 = 1 x = (-b - √D) / 2a = (4 - √4) / 23 = (4 - 2) / 6 = 2 / 6 = 1/3

Теперь определим знак производной на каждом из интервалов, образованных этими корнями и другими точками:

1. Если x < 1/3, то оба множителя (3x^2) и (-4x) отрицательны, значит, f'(x) будет положительной.
2. Если 1/3 < x < 1, то первый множитель (3x^2) положительный, а второй (-4x) отрицателен, тогда f'(x) будет отрицательной.
3. Если x > 1, то оба множителя (3x^2) и (-4x) положительны, значит, f'(x) будет положительной.

Таким образом, неравенство f'(x) ≤ 0 выполняется на интервале (1/3, 1).