Question

Найти корень на участке от 0 до 1 уравнения 2x³-4x²+7x-3=0 начальное приближение x°=0.7

Answer 1

F'(x) = 6x² - 8x + 7

f(0,7) = 0,686 - 1,96 + 4,9 - 3 = 0,626
f'(0,7) = 7,14

x₁ = x₀ - f(x₀)/f'(x₀)

x₁ = 0,7 - 0,626/7,14 ≈ 0,6123

x₂ = 0,6123 - f(0,6123)/f'(0,6123) = 0,6123 -  0.245571206/ 6.800268 = 0,5762

x₃ = 0,5762 - f(0,5762)/f'(0,5762) = 0,563

x₄ = 0,563 - f(0,563)/f'(0,563) = 0,5585

x₅ = ... = 0,557

x₆ = ... = 0,5565

x₇ = ... = 0,5563

x₈ = ... = 0,5562

x₉ = ... = 0,5562

Ответ: 0,5562 - приближенный ответ с точностью 10^(-4)

Answer 2

Для нахождения корня уравнения на заданном интервале с использованием метода Ньютона (метод касательных), нужно выполнить несколько итераций. Начальное приближение, как указано в задаче, составляет x°=0.7.

Метод Ньютона определяет следующую итерационную формулу для поиска корня уравнения f(x) = 0:

x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀),

где x₁ - новое приближение, x₀ - предыдущее приближение, f(x₀) - значение функции в предыдущем приближении, f'(x₀) - значение производной функции в предыдущем приближении.

Шаги решения:

Шаг 1: Записать уравнение и его производную: f(x) = 2x³ - 4x² + 7x - 3, f'(x) = 6x² - 8x + 7.

Шаг 2: Подставить начальное приближение x°=0.7 в уравнение и его производную: f(0.7) = 2(0.7)³ - 4(0.7)² + 7(0.7) - 3 ≈ 0.249, f'(0.7) = 6(0.7)² - 8(0.7) + 7 ≈ 3.37.

Шаг 3: Применить метод Ньютона для вычисления следующего приближения: x₁ = 0.7 - 0.249 / 3.37 ≈ 0.628.

Теперь получили новое приближение x₁ ≈ 0.628.

Шаг 4: Повторить шаг 2 и шаг 3 несколько раз, чтобы получить все более точные приближения.

Продолжая вышеуказанный процесс итераций, мы получим последовательность приближений, которая будет сходиться к корню на интервале от 0 до 1. Когда разница между двумя последовательными приближениями будет достаточно мала, мы считаем итерацию завершенной и принимаем последний полученный результат как приближенное значение корня уравнения.