Question

Помогите пожалуйста решить пример . Определить площадь фигуры ограниченной линиями y=x^3; y=2-x; y=0

Answer 1

Заданная фигура - сумма двух фигур: криволинейной трапеции и прямоугольного треугольника.
Находим их границу, приравняв функции:
x³ = 2 - x,,
х³ + х - 2 = 0.
Это кубическое уравнение решаем, используя делители свободного члена: +-1 и +-2.
Подходит х = 1: 1³ + 1 - 2 = 0.
$S_1= \int\limits^1_0 {x^3} \, dx = \frac{x^4}{4} |_0^1= \frac{1}{4} =0,25.$
Площадь треугольника  $S_2= \frac{1}{2} *1*(2-1) = 0,5.$
Здесь х = 2 это точка пересечения прямой с осью Ох.

Ответ: S = 0,25 + 0,5 = 0,75 кв.ед.

Answer 2

Для определения площади фигуры ограниченной этими линиями, нужно найти точки их пересечения и затем найти интеграл от разности уравнений, ограничивающих фигуру.

1. Найдем точки пересечения линий:

• Пересечение между y = x^3 и y = 2 - x: x^3 = 2 - x x^3 + x - 2 = 0

Это уравнение кубической функции. Найдем корни, а затем значения y для каждого корня:

x ≈ 1.260, y ≈ 0.740 x ≈ -1.879, y ≈ 3.879 x ≈ -0.381, y ≈ 1.381

2. Теперь найдем точку пересечения между y = 2 - x и y = 0: 2 - x = 0 x = 2, y = 0

Таким образом, получаем следующие точки пересечения: A(2, 0), B(1.260, 0.740), C(-1.879, 3.879), D(-0.381, 1.381).

3. Найдем интеграл от разности уравнений, ограничивающих фигуру, от точки A до точки C (так как фигура находится между этими точками):

Площадь = ∫[A to C] [(2 - x) - x^3] dx

Вычислим интеграл:

Площадь = ∫[-1.879 to 2] (2 - x - x^3) dx

Площадь = [2x - (x^2/2) - (x^4/4)]|[-1.879 to 2]

Площадь = [2(2) - (2^2/2) - (2^4/4)] - [2(-1.879) - ((-1.879)^2/2) - ((-1.879)^4/4)]

Площадь = [4 - 2 - 4] - [-3.758 - (3.532/2) - (5.275/4)]

Площадь = -2 - [-3.758 - 1.766 - 1.318.75]

Площадь ≈ -2 - [-6.842]

Площадь ≈ 4.842 (приблизительно).

Ответ: Площадь фигуры ограниченной линиями y = x^3, y = 2 - x и y = 0 равна примерно 4.842 квадратных единиц. Обратите внимание, что площадь всегда положительна, поэтому если в ответе получилось отрицательное число, скорее всего, была допущена ошибка в вычислениях.