Question

Дана функция y=-1/3x^3+4x^2*15x1) исследуйте ее на монатоность и экстремумы

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для исследования функции на монотонность и экстремумы, нам нужно вычислить её производные и найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Дана функция: y = -1/3x^3 + 4x^2 + 15x

1. Найдем первую производную функции y по x: y' = d/dx(-1/3x^3) + d/dx(4x^2) + d/dx(15x)

Для нахождения производных отдельных слагаемых, используем правила дифференцирования:

d/dx(-1/3x^3) = -1 * 3/3 * x^(3-1) = -x^2 d/dx(4x^2) = 4 * 2 * x^(2-1) = 8x d/dx(15x) = 15

Теперь объединим производные:

y' = -x^2 + 8x + 15

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

y' = 0 -x^2 + 8x + 15 = 0

Для решения квадратного уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac

a = -1, b = 8, c = 15

D = 8^2 - 4 * (-1) * 15 = 64 + 60 = 124

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня:

x = (-b + √D) / (2a) = (8 + √124) / 2 ≈ 5.82 x = (-b - √D) / (2a) = (8 - √124) / 2 ≈ 2.18

3. Теперь найдем вторую производную функции y по x:

y'' = d/dx(-x^2 + 8x + 15)

Для нахождения производных отдельных слагаемых, используем правила дифференцирования:

d/dx(-x^2) = -1 * 2 * x^(2-1) = -2x d/dx(8x) = 8

Теперь объединим производные:

y'' = -2x + 8

4. Определим знаки производной и второй производной в интервалах между найденными корнями.

Выберем тестовые точки для проверки знаков:

• Возьмем x = 0 (в интервале от -∞ до 2.18) y' = -0^2 + 80 + 15 = 15 (положительно) y'' = -20 + 8 = 8 (положительно)

• Возьмем x = 3 (в интервале от 2.18 до 5.82) y' = -3^2 + 83 + 15 = 24 (положительно) y'' = -23 + 8 = 2 (положительно)

• Возьмем x = 6 (в интервале от 5.82 до +∞) y' = -6^2 + 86 + 15 = 9 (положительно) y'' = -26 + 8 = -4 (отрицательно)

5. Теперь можем сделать выводы:

• Функция имеет экстремумы (точки, в которых производная равна нулю). В данном случае, у нас две такие точки: x ≈ 2.18 и x ≈ 5.82.
• Между найденными корнями, функция положительно монотонна (увеличивается).
• Слева от x ≈ 2.18 функция убывает, так как y' и y'' положительные.
• Справа от x ≈ 5.82 функция убывает, так как y' положительное, но y'' отрицательное.

Зная эту информацию, можно построить график функции и подтвердить полученные результаты графически.