Question

Из точки М, лежащей вне плоскости a, проведены две наклонные, равные 18дм и 14дм, проекции которых относятся как 3:1. Найти длину меньшей проекции.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения длины наклонных проекций.

Пусть точка М лежит вне плоскости a, и из этой точки проведены две наклонные проекции на плоскость a. Обозначим эти проекции как a' и b', а их длины как a'_len и b'_len соответственно.

Так как проекции наклонных равны 3:1, то мы можем записать:

a'_len / b'_len = 3 / 1

Теперь нам известны длины наклонных сами по себе: a_len = 18 дм и b_len = 14 дм.

Так как длина наклонной - это гипотенуза прямоугольного треугольника, а проекция - это катет, то можем применить теорему Пифагора:

a_len^2 = a'_len^2 + h^2 b_len^2 = b'_len^2 + h^2

где h - расстояние от точки М до плоскости a.

Теперь мы имеем систему уравнений:

a'_len^2 + h^2 = 18^2 b'_len^2 + h^2 = 14^2

Выразим h^2 из первого уравнения:

h^2 = 18^2 - a'_len^2

Теперь подставим это выражение для h^2 во второе уравнение:

b'_len^2 + (18^2 - a'_len^2) = 14^2

Теперь решим уравнение относительно a'_len:

b'_len^2 + 18^2 - a'_len^2 = 14^2

b'_len^2 - a'_len^2 = 14^2 - 18^2

a'_len^2 - b'_len^2 = 18^2 - 14^2

(a'_len + b'_len)(a'_len - b'_len) = (18 + 14)(18 - 14)

a'_len + b'_len = 32

Так как нам нужно найти длину меньшей проекции (b'_len), то решим уравнение:

b'_len = 32 - a'_len

Теперь подставим выражение для b'_len в одно из уравнений:

a'_len / b'_len = 3 / 1

a'_len / (32 - a'_len) = 3

Теперь решим уравнение относительно a'_len:

a'_len = 3(32 - a'_len)

a'_len = 96 - 3a'_len

4a'_len = 96

a'_len = 24

Теперь найдем b'_len:

b'_len = 32 - a'_len

b'_len = 32 - 24

b'_len = 8

Таким образом, длина меньшей проекции b' равна 8 дм.