Question

Y=ln(x+3)^13-13x Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-2,5;0]

Answer 1

$f'(x)=(ln(x+3)^{13}-13x)'=(13ln(x+3)-13x)'=13(ln(x+3)-x)'=\\ =13((x+3)'\frac{1}{x+3} -1)=13(\frac{1}{x+3} -1)=13*\frac{1-x-3}{x+3} =13*\frac{-(x+2)}{x+3}$

f'(x) ------ -3 ++++++++ -2 ------------

-------------о----------------о---------------

Значит максимум достигается при x=-2

f(-2)=0-13*(-2)=26

Ответ: 26

Answer 2

Для того чтобы найти наибольшее значение функции $Y$ на заданном отрезке $[-2.5, 0]$, сначала найдем критические точки функции внутри данного интервала и проверим значения функции в этих точках, а также на границах интервала.

1. Найдем производную функции $Y$ по $x$: $Y = \ln(x+3)^{13} - 13x$

Используем правило дифференцирования сложной функции: $\frac{dY}{dx} = \frac{13}{\ln(x+3)} \cdot \frac{d}{dx}(x+3) - 13$

Упростим: $\frac{dY}{dx} = \frac{13}{x+3} - 13$

2. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: $\frac{13}{x+3} - 13 = 0$

$\frac{13}{x+3} = 13$

$x+3 = 1$

$x = -2$

3. Теперь проверим значения функции $Y$ в критической точке и на границах интервала $[-2, 0]$:

• В точке $x = -2$:

$Y = \ln((-2)+3)^{13} - 13(-2)$ $Y = \ln(1)^{13} + 26$ $Y = 0 + 26$ $Y = 26$

• На границе интервала, при $x = 0$:

$Y = \ln(0+3)^{13} - 13(0)$ $Y = \ln(3)^{13}$

4. Нам остается только проверить, какое из значений $Y$ является максимальным: $Y = 26$ или $Y = \ln(3)^{13}$.

Для этого нужно вычислить значение $\ln(3)^{13}$. Откроем калькулятор и выполним расчет:

$\ln(3) \approx 1.09861$ $\ln(3)^{13} \approx 1.09861^{13} \approx 14.3989$

Таким образом, наибольшее значение функции $Y$ на интервале $[-2, 0]$ равно примерно $14.3989$. Этот максимум достигается при $x = 0$.