Question

УМОЛЯЮ РЕБЯТ ПОЖАЛУЙСТА log2(4x^2-1)-log2x<=log2(5x+ 9/x -11)

Answer 1

$log_2(4x^2-1)-log_2x \leq log_2(5x+ 9/x -11) \\ log_2(4x^2-1) \leq log_2(5x^2+ 9 -11x) ---and---x\ \textgreater \ 0 \\ 0\ \textless \ 4x^2-1 \leq 5x^2+ 9 -11x -----and----x\ \textgreater \ 0 \\ x=(-\infty;-0,5)U(0,5;+\infty)-and-x^2-11x+10 \geq 0-and-x\ \textgreater \ 0 \\ x=(0,5;1]U[10;+\infty)$
Ответ: x∈(0,5;1]U[10;+∞)

Answer 2

Хорошо, давайте решим данное неравенство:

log2(4x^2 - 1) - log2(x) ≤ log2(5x + 9/x - 11)

Для решения логарифмических неравенств, мы будем использовать свойства логарифмов. В данном случае, основное свойство, которое нам понадобится, это:

log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)

Используя это свойство, преобразуем левую сторону неравенства:

log2(4x^2 - 1) - log2(x) = log2((4x^2 - 1) / x)

Теперь неравенство примет вид:

log2((4x^2 - 1) / x) ≤ log2(5x + 9/x - 11)

Поскольку основание логарифма у обеих сторон равно 2, можно сократить логарифмы:

(4x^2 - 1) / x ≤ 5x + 9/x - 11

Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе стороны на x:

4x^2 - 1 ≤ 5x^2 + 9 - 11x

Теперь приведем всё к одной стороне и получим квадратное уравнение:

4x^2 - 5x^2 + 11x - 1 - 9 ≤ 0

-x^2 + 11x - 10 ≤ 0

Теперь попробуем решить это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения x^2 - 11x + 10 = 0:

x = (-(-11) ± √((-11)^2 - 4 * 1 * 10)) / 2 * 1 x = (11 ± √(121 - 40)) / 2 x = (11 ± √81) / 2 x = (11 ± 9) / 2

Таким образом, корни уравнения равны x = 10 и x = 1.

Теперь определим знак умножения в интервалах:

1. Когда x < 1:

• -x^2 + 11x - 10 < 0
• Результат отрицательный, если x принадлежит интервалу (1, 10).

2. Когда 1 ≤ x ≤ 10:

• -x^2 + 11x - 10 ≥ 0
• Результат положительный или равен нулю, если x принадлежит интервалу [1, 10].

3. Когда x > 10:

• -x^2 + 11x - 10 < 0
• Результат отрицательный, если x принадлежит интервалу (1, 10).

Таким образом, неравенство выполняется при x из интервала [1, 10] включительно. На краях интервала (x = 1 и x = 10) также выполняется, так как в этих точках уравнение исходного неравенства становится равенством.