Question

Найдите наименьшее значение функции y=9x-ln(x+10)^11 На отрезке [-10,5 ; 0]

Answer 1

При х=-9
у=9×(-9)-0=-81

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y на указанном отрезке [-10.5, 0], нужно:

1. Найти критические точки функции (то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует).
2. Определить значения функции y в этих критических точках и на концах отрезка [-10,5; 0].
3. Сравнить полученные значения и найти наименьшее.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x:

y = 9x - ln(x + 10)^11

Для удобства обозначим u = (x + 10)^11, тогда:

y = 9x - ln(u)

Теперь возьмем производную по x:

dy/dx = 9 - d/dx(ln(u))

Для нахождения производной ln(u) воспользуемся цепным правилом:

d/dx(ln(u)) = 1/u * du/dx

du/dx = 11(x + 10)^10

Теперь можем выразить производную функции y:

dy/dx = 9 - 1/u * 11(x + 10)^10

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

9 - 1/u * 11(x + 10)^10 = 0

1/u * 11(x + 10)^10 = 9

11(x + 10)^10 = 9u

(x + 10)^10 = 9u / 11

Теперь вспомним, что u = (x + 10)^11:

(x + 10)^10 = 9(x + 10)^11 / 11

Так как (x + 10)^10 не может быть равно нулю (иначе ln(u) был бы неопределен), можно сократить на (x + 10)^10 с обеих сторон уравнения:

1 = 9(x + 10) / 11

11 = 9(x + 10)

11 = 9x + 90

9x = -79

x = -79 / 9 ≈ -8.78

Шаг 3: Определим значения функции y в критической точке и на концах отрезка [-10.5, 0]:

1. Подставим x = -8.78 в исходную функцию:

y = 9(-8.78) - ln((-8.78) + 10)^11 ≈ -79.02

2. Подставим x = -10.5 в исходную функцию:

y = 9(-10.5) - ln((-10.5) + 10)^11 ≈ -95.17

3. Подставим x = 0 в исходную функцию:

y = 9(0) - ln(0 + 10)^11 = 0

Наименьшее значение функции y на отрезке [-10.5, 0] равно приближенно -95.17. Оно достигается при x ≈ -10.5.