Question

X^2−y^2+16x+2y+16=0 .Построить линию ,определяемую уравнением

Answer 1

X^2+16x+64-48-y^2+2y=0
(x+8)^2-(y^2-2y+1)-49=0
(x+8)^2-(y-1)^2=49
(x+8)^2/49-(y-1)^2/49=1
это гипербола с центром симметрии, перенесенном в точку (-8;1)

Answer 2

Для начала давайте перепишем уравнение в форме, удобной для построения. Уравнение имеет вид:

x^2 - y^2 + 16x + 2y + 16 = 0

Для того чтобы построить линию, определяемую этим уравнением, нужно преобразовать его в стандартную форму уравнения параболы или гиперболы (в зависимости от знака коэффициента при y^2). После этого мы сможем определить форму и положение кривой.

Для начала выполним некоторые алгебраические преобразования:

x^2 - y^2 + 16x + 2y + 16 = 0

Перенесем 16 на правую сторону:

x^2 - y^2 + 16x + 2y = -16

Далее, завершим квадраты по переменным x и y, добавив и вычтя определенные константы:

Для переменной x: x^2 + 16x = (x^2 + 16x + 64) - 64 = (x + 8)^2 - 64

Для переменной y: -y^2 + 2y = -(y^2 - 2y + 1) + 1 = - (y - 1)^2 + 1

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

(x + 8)^2 - 64 - (y - 1)^2 + 1 = -16

Теперь упростим уравнение:

(x + 8)^2 - (y - 1)^2 = -16 + 64 - 1

(x + 8)^2 - (y - 1)^2 = 47

Для более ясного представления давайте разделим обе части уравнения на 47:

(x + 8)^2/47 - (y - 1)^2/47 = 1

Теперь уравнение приняло стандартную форму уравнения гиперболы. Исходное уравнение задает гиперболу с центром в точке (-8, 1).

Для построения графика гиперболы определим ее основные характеристики:

Центр: (-8, 1) Расстояние между фокусами: sqrt(47) Расстояние между вершинами: sqrt(47) Асимптоты: y = x - 9 и y = -x + 11

Теперь давайте построим график гиперболы:

1. Найдем точки вершин гиперболы:

Центр: (-8, 1) Расстояние от центра до вершин: sqrt(47)

Таким образом, вершины будут находиться в точках (-8, 1 + sqrt(47)) и (-8, 1 - sqrt(47)).

2. Найдем точки фокусов гиперболы:

Центр: (-8, 1) Расстояние от центра до фокусов: sqrt(47)

Таким образом, фокусы будут находиться в точках (-8, 1 + sqrt(47)) и (-8, 1 - sqrt(47)).

3. Найдем точки пересечения гиперболы с асимптотами:

y = x - 9: (x + 8)^2/47 - (x - 10)^2/47 = 1 (x + 8 + x - 10)(x + 8 - x + 10) = 47 (2x - 2)(18) = 47 x - 1 = 47/18 x = 47/18 + 1 x ≈ 3.61

y = -x + 11: (x + 8)^2/47 - (-(x - 11))^2/47 = 1 (x + 8 + x - 11)(x + 8 + x - 11) = 47 (2x - 3)(-2x + 19) = 47 -4x^2 + 74x - 57 = 47 4x^2 - 74x + 104 = 0

Решая это квадратное уравнение, получим два значения x ≈ 2.53 и x ≈ 8.67.

Теперь у нас есть точки для построения гиперболы. Обозначим центр точкой C(-8, 1). Вершины - V1(-8, 1 + sqrt(47)) и V2(-8, 1 - sqrt(47)), фокусы - F1(-8, 1 + sqrt(47)) и F2(-8, 1 - sqrt(47)), асимптоты - y = x - 9 и y = -x + 11, и точки пересечения с асимптотами A1(3.61, -5.39), A2(8.67, 3.67).

Теперь давайте нарисуем гиперболу:

(График гиперболы)

Обратите внимание, что асимптоты уходят в бесконечность и приближаются к гиперболе, но никогда ее не касаются. Гипербола симметрична относительно центра C(-8, 1).

Надеюсь, это помогло вам построить линию, определяемую уравнением. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте знать!