Question

Y=cos^2*(3*x+4); y=x/sqrt(1+x) Найти производные

Answer 1

Y'=2cos(3x+4)(cos(3x+4)'=2cos(3x+4)*(-sin(3x+4))*3=-3*2*cos(3x+4)(sin(3x+4))=-3sin2(3x+4)=-3sin(6x+8)

         x'*√(1+x)-x(√(1+x))'     (√(1+x))-x/(2√(x+1))   2(1+x)-x              2+x
 y'=   --------------------------= ---------------------------=------------------ = ----------------
          (√(1+x))²                        1+x                         2(1+x)√(1+x)   2(1+x)√(1+x)

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций.

1. Дано: Y = cos^2(3x + 4)

Для нахождения производной функции Y по переменной x, воспользуемся правилом цепочки (chain rule) и правилом производной композиции функций.

Правило цепочки гласит, что если у нас есть функция f(g(x)), то ее производная равна производной функции f по аргументу g, умноженной на производную функции g по x.

Производная cos^2(u) равна -2 * cos(u) * sin(u), где u - это аргумент функции cos^2(x).

В нашем случае, u = 3x + 4. Тогда производная Y по x:

dY/dx = d/dx [cos^2(3x + 4)] = -2 * cos(3x + 4) * sin(3x + 4) * d/dx [3x + 4]

Теперь найдем производную 3x + 4:

d/dx [3x + 4] = 3

Подставляем обратно:

dY/dx = -2 * cos(3x + 4) * sin(3x + 4) * 3

Упростим:

dY/dx = -6 * cos(3x + 4) * sin(3x + 4)

Таким образом, производная функции Y равна -6 * cos(3x + 4) * sin(3x + 4).

2. Дано: y = x/sqrt(1 + x)

Для нахождения производной функции y по переменной x, воспользуемся правилом дифференцирования частного (quotient rule).

Правило дифференцирования частного гласит, что если у нас есть функция f(x)/g(x), то ее производная равна (g(x) * f'(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2.

В нашем случае, f(x) = x, g(x) = sqrt(1 + x).

Теперь найдем производные f'(x) и g'(x):

f'(x) = d/dx [x] = 1 g'(x) = d/dx [sqrt(1 + x)] = 1 / (2 * sqrt(1 + x))

Подставляем в формулу для производной частного:

dy/dx = (sqrt(1 + x) * 1 - x * (1 / (2 * sqrt(1 + x)))) / (sqrt(1 + x))^2

Упростим:

dy/dx = (sqrt(1 + x) - x / (2 * sqrt(1 + x))) / (1 + x)

Таким образом, производная функции y равна (sqrt(1 + x) - x / (2 * sqrt(1 + x))) / (1 + x).