Question

ПОЖАЛУЙСТА 19 БАЛЛОВ ln(6x)-6x+18 наибольшее значение функции на промежутке [1/12 ; 5/12] 

Answer 1

Ответ:

Наибольшее значение функции y(1/6)=17

Пошаговое объяснение:

Функция y=ln(6·x)-6·x+18 определена только при x>0, так как одно из слагаемых ln(6·x).

Найдем критические точки функции:

$\displaystyle y'=(ln(6*x)-6*x+18)'=(ln(6*x))'-(6*x)'+(18)'=\frac{6}{6*x}-6+0=\frac{1}{x}-6$

$\displaystyle y'=0$ ⇔ $\displaystyle \frac{1}{x}-6=0$ ⇔ x₀=1/6=2/12∈[1/12; 5/12].

Вычислим значения функции в точке x₀=1/6 и на границах отрезка [1/12; 5/12]:

y(1/12)= ln(6·1/12)-6·1/12+18=ln(1/2)-1/2+18=17,5+ln(1/2)=17,5-ln2

y(1/6)= ln(6·1/6)-6·1/6+18=ln(1)-1+18=0+17=17

y(5/12)= ln(6·5/12)-6·5/12+18=ln(5/2)-5/2+18=15,5+ln(5/2)

Сравним значения:

$\displaystyle y(\frac{1}{12} )-y(\frac{1}{6})=17,5-ln2-17=0,5-ln2=\\\\=0,5*lne-ln2=ln\sqrt{e} -ln2=ln\frac{\sqrt{e}}{2} =ln\sqrt{\frac{e}{4}}$

$\displaystyle y(\frac{5}{12} )-y(\frac{1}{6})=15,5-ln(5/2)-17=\\\\=-1,5-ln2,5$

Отсюда, так как

y(1/6)>y(1/12) и y(1/6)>y(5/12)

то на промежутке [1/12 ; 5/12] наибольшее значение функции y(1/6)=17.

Answer 2

Для того чтобы найти наибольшее значение функции $f(x) = \ln(6x) - 6x + 18$ на промежутке $[1/12 ; 5/12]$, нужно найти критические точки функции в этом интервале и проверить их на экстремумы.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln(6x) - 6x + 18 \right)$

Для нахождения производной сложной функции $\ln(6x)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $\frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{u'}{u},$

где $u = 6x$, и $u' = \frac{du}{dx} = 6$.

Теперь найдем производную $f'(x)$: $f'(x) = \frac{1}{6x} \cdot 6 - 6 = \frac{1}{x} - 6.$

2. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решив уравнение: $\frac{1}{x} - 6 = 0.$

Умножим обе стороны на $x$: $1 - 6x = 0.$

Решаем уравнение: $6x = 1,$ $x = \frac{1}{6}.$

3. Проверим, лежит ли найденная критическая точка $\frac{1}{6}$ внутри промежутка $[1/12 ; 5/12]$. Из условия следует, что она лежит внутри этого интервала, так как $\frac{1}{12} < \frac{1}{6} < \frac{5}{12}$.

4. Теперь найдем значения функции в критической точке $\frac{1}{6}$ и на концах интервала $[1/12 ; 5/12]$. $f\left(\frac{1}{6}\right) = \ln\left(6 \cdot \frac{1}{6}\right) - 6 \cdot \frac{1}{6} + 18 = \ln(1) - 1 + 18 = 18.$

$f\left(\frac{1}{12}\right) = \ln\left(6 \cdot \frac{1}{12}\right) - 6 \cdot \frac{1}{12} + 18 = \ln\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} + 18 \approx 17.193.$

$f\left(\frac{5}{12}\right) = \ln\left(6 \cdot \frac{5}{12}\right) - 6 \cdot \frac{5}{12} + 18 = \ln\left(\frac{5}{2}\right) - \frac{5}{2} + 18 \approx 17.319.$

5. Таким образом, наибольшее значение функции $f(x) = \ln(6x) - 6x + 18$ на промежутке $[1/12 ; 5/12]$ равно приблизительно 17.319 и достигается при $x = \frac{5}{12}$.