Question

Помогите пожалуйста с задачей. Дано трехзначное число, его разделили на 9 и получили другое число. Сумма чисел полученного числа на 9 меньше суммы чисел задуманного. Найдите задуманное число. Сколько может быть вариантов?

Answer 1

Признак делимости на 9 - если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9. Значит изначальная сумма кратна 9(по признаку). Так как потом она уменьшилась на 9, то эта сумма тоже кратна 9, то есть и полученное число кратно 9. Это значит, что искомое число кратно 81.
Это числа 162;243;324;405;486;567;648;729;810;891;972.
Из них подходит 486(486/9=54; 4+8+6=9+(5+4)), 567(567/9=63;5+6+7=9+(6+3)), 648(648/9=72;6+4+8=9+(7+2)), 729(729/9=81;7+2+9=9(8+1)), 972(972/9=108;9+7+2=9+(1+0+8)).
Ответ: 5 вариантов; числа 486, 567, 648, 729 и 972

Answer 2

Хорошо, давайте решим эту задачу. Пусть трехзначное число, которое вы задумали, будет обозначено как XYZ, где X, Y и Z - это цифры числа (например, если задуманное число 123, то X = 1, Y = 2 и Z = 3).

Когда мы разделим XYZ на 9, получим другое число ABC, где:

ABC = XYZ / 9

Теперь нам нужно найти XYZ такое, чтобы сумма его цифр была на 9 больше, чем сумма цифр числа ABC.

Сумма цифр числа ABC равна:

Sum(ABC) = A + B + C

Сумма цифр числа XYZ равна:

Sum(XYZ) = X + Y + Z

Условие задачи гласит, что:

Sum(XYZ) = Sum(ABC) + 9

Теперь разберем возможные значения цифр X, Y и Z, при условии, что XYZ - трехзначное число (от 100 до 999) и XYZ делится на 9:

1. Допустим, X = 1:

   • Y + Z = A + B + C + 9
   • Y + Z - A - B - C = 9 Заметим, что разница между Y + Z и A + B + C также должна делиться на 9, чтобы условие задачи выполнялось. Возможные значения:
   • (Y + Z) - (A + B + C) = 9 -> 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90

2. Допустим, X = 2:

   • Y + Z - A - B - C = 18 Заметим, что разница между Y + Z и A + B + C также должна делиться на 9, чтобы условие задачи выполнялось. Возможные значения:
   • (Y + Z) - (A + B + C) = 18 -> 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90

и так далее, увеличивая значение X, возможные значения разности между Y + Z и A + B + C будут уменьшаться на 9.

Таким образом, возможных вариантов задуманного числа XYZ с учетом условия задачи будет 8 (при X = 1) + 8 (при X = 2) + ... + 8 (при X = 8) = 8 * 8 = 64 варианта.

Примеры возможных вариантов:

1. Если X = 1, и разность (Y + Z) - (A + B + C) равна 18, то возможны числа: 513, 522, 531, 540, 603, 612, 621, 630.
2. Если X = 1, и разность (Y + Z) - (A + B + C) равна 27, то возможны числа: 414, 423, 432, 441, 504, 513, 522, 531, 603, 612, 621, 630.

и так далее для каждого значения X от 1 до 8.