Question

Помогите пожалуйста с задачей. Дано трехзначное число, его разделили на 9 и получили другое число. Сумма чисел полученного числа на 9 меньше суммы чисел задуманного. Найдите задуманное число. Сколько может быть вариантов?

Answer 1

Признак делимости на 9 - если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9. Значит изначальная сумма кратна 9(по признаку). Так как потом она уменьшилась на 9, то эта сумма тоже кратна 9, то есть и полученное число кратно 9. Это значит, что искомое число кратно 81.
Это числа 162;243;324;405;486;567;648;729;810;891;972.
Из них подходит 486(486/9=54; 4+8+6=9+(5+4)), 567(567/9=63;5+6+7=9+(6+3)), 648(648/9=72;6+4+8=9+(7+2)), 729(729/9=81;7+2+9=9(8+1)), 972(972/9=108;9+7+2=9+(1+0+8)).
Ответ: 5 вариантов; числа 486, 567, 648, 729 и 972

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Пусть задуманное трехзначное число будет представлено в виде XYZ, где X, Y и Z - его цифры (X - сотни, Y - десятки, Z - единицы).

1. Мы знаем, что когда число разделяется на 9, сумма его цифр также делится на 9. Иначе говоря, X + Y + Z должно быть кратно 9.

2. После того, как задуманное число разделили на 9, оно превратилось в число с цифрами X/9, Y/9 и Z/9. Нам также сказано, что сумма этих цифр на 9 меньше суммы цифр исходного числа.

Давайте сформулируем уравнение для суммы цифр исходного числа и для суммы цифр полученного числа после деления на 9:

Сумма цифр исходного числа: X + Y + Z Сумма цифр полученного числа: X/9 + Y/9 + Z/9

Теперь нам нужно решить неравенство, которое гласит, что сумма чисел полученного числа на 9 меньше суммы чисел задуманного:

(X/9 + Y/9 + Z/9) + 9 < X + Y + Z

Упростим:

X/9 + Y/9 + Z/9 + 9 < X + Y + Z

Теперь давайте решим это неравенство:

8(X + Y + Z) < 9(X + Y + Z)

Получается, что нам нужно, чтобы сумма цифр исходного числа (X + Y + Z) была больше 9 и меньше 81. Значит, исходное число должно быть больше 9 и меньше 81.

Теперь найдем все трехзначные числа, удовлетворяющие этому условию:

10, 11, 12, ..., 79, 80

Всего таких чисел 71. Это и есть количество вариантов задуманного числа.

Пожалуйста, обратите внимание, что в условии задачи не указано, являются ли цифры задуманного числа различными. В предположении, что цифры могут повторяться, получается 71 вариант.

Примеры задуманных чисел, которые удовлетворяют условиям: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 71, 72, ..., 79, 80.