Question

Даны вершины треугольника А(-1;0) , В(5;9) , С(9;4) . Составить уравнение медианы и и высоты треугольника , проведенных из вершины А .

Answer 1

Даны вершины треугольника А(-1;0), В(5;9), С(9;4). 

1) Находим координаты точки А1 как середины стороны ВС:
А1((5+9)/2=7; (9+4)/2=6,5) = (7; 6,5).
Уравнение медианы, проведенной из вершины А:
АА1: (х + 1)/8 = у/(6,5),
         6,5х + 6,5 = 8у,
         Умножим на 2 для приведения к целым коэффициентам:
          13х + 13 = 16у.
          у = (13/16)х + (13/16).

2) Находим уравнение стороны ВС:
     ВС: (х - 5)/4 = (у - 9)/(-5),
            -5х + 25 = 4у - 36,
            у = (-5/4)х + (61/4)

     Перпендикуляр АН к стороне ВС имеет угловой коэффициент:
     к(АН) = -1/к(ВС) = -1/(-5/4) = 4/5.
     Уравнение АН: у = (4/5)х + в.
      Для определения параметра в в это уравнение подставим                          координаты точки А:
      0 = (4/5)*(-1) + в, 
      отсюда в = (4/5).
      Уравнение ВН: у = (4/5)х + (4/5).
  
       

Answer 2

Для составления уравнения медианы и высоты треугольника, проведенных из вершины А, нужно найти координаты середины стороны (для медианы) и координаты основания высоты (для высоты).

1. Медиана из вершины А делит сторону ВС пополам. Найдем координаты середины стороны ВС:

Середина стороны ВС = ((x_B + x_C) / 2, (y_B + y_C) / 2) Середина стороны ВС = ((5 + 9) / 2, (9 + 4) / 2) Середина стороны ВС = (7, 6.5)

Теперь у нас есть координаты середины стороны ВС, и мы можем записать уравнение медианы.

Уравнение медианы: уравнение прямой, проходящей через вершину А и середину стороны ВС.

Для того чтобы найти уравнение прямой, необходимо найти угловой коэффициент (наклон) прямой и её свободный член.

a) Найдем угловой коэффициент медианы:

Угловой коэффициент медианы = (y_середина - y_A) / (x_середина - x_A) Угловой коэффициент медианы = (6.5 - 0) / (7 - (-1)) Угловой коэффициент медианы = 6.5 / 8 Угловой коэффициент медианы = 0.8125

б) Теперь найдем свободный член (точку пересечения с осью y):

y = mx + b (где m - угловой коэффициент)

Подставим известные значения (используем точку А):

0 = 0.8125*(-1) + b 0 = -0.8125 + b b = 0.8125

Теперь у нас есть уравнение медианы, проходящей через вершину А и середину стороны ВС:

Уравнение медианы: y = 0.8125x + 0.8125

2. Высота из вершины А проведена перпендикулярно стороне ВС. Найдем координаты точки, в которой она пересекает сторону ВС.

а) Найдем угловой коэффициент стороны ВС:

Угловой коэффициент ВС = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) Угловой коэффициент ВС = (4 - 9) / (9 - 5) Угловой коэффициент ВС = -5 / 4

б) Теперь найдем угловой коэффициент, перпендикулярный стороне ВС:

Угловой коэффициент перпендикулярной прямой = -1 / (угловой коэффициент ВС) Угловой коэффициент перпендикулярной прямой = -1 / (-5 / 4) Угловой коэффициент перпендикулярной прямой = 4 / 5

в) Найдем уравнение высоты (прямой, проходящей через вершину А и перпендикулярной стороне ВС):

Уравнение высоты: y = mx + b (используем точку А)

0 = (4/5)*(-1) + b 0 = -4/5 + b b = 4/5

Теперь у нас есть уравнение высоты, проведенной из вершины А:

Уравнение высоты: y = (4/5)x + 4/5

Итак, уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины А:

Медиана: y = 0.8125x + 0.8125

Высота: y = (4/5)x + 4/5