Question

Учительница объявила результаты контрольной работы. Больше всего ошибок у Маши - 13. Докажите, что среди 28 учащихся, допустивших ошибки, найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.

Answer 1

Среди 28 человек, при условии, что максимальное количество ошибок 13, очевидно, что у всех не могло быть разное количество ошибок. Такое могло произойти, если человек не больше 13. Рассмотрим 25 человек. В любом случае, каждой оценке, кроме 13 соответствует по крайней мере 2 ученика. 26-ой ученик не может иметь оценку 13. Значит он станет третьим учеником, получившим какую-то определённую оценку. Ну понятно, что добавляя ещё двоих учеников ситуация не изменится

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся принципом Дирихле, который гласит: "Если n + 1 объектов распределить по n ящикам, то в одном из ящиков окажется хотя бы два объекта."

В данном случае, у нас есть 28 учащихся, допустивших ошибки (включая Машу) и у каждого из них разное количество ошибок. Мы можем рассматривать каждый случай числа ошибок как "ящик", и каждого учащегося с соответствующим числом ошибок как "объект".

Так как всего учащихся 28, а возможное количество ошибок у каждого - от 0 до 13 (включая 0 и 13), то у нас будет 14 "ящиков" (0 ошибок, 1 ошибка, 2 ошибки и так далее до 13 ошибок).

По принципу Дирихле, если мы распределим 28 учащихся по 14 "ящикам", то хотя бы в одном из "ящиков" окажется хотя бы два учащихся с одинаковым числом ошибок. Или, иначе говоря, хотя бы у трех учащихся будет одинаковое количество ошибок.

Таким образом, среди 28 учащихся, допустивших ошибки, найдутся 3 человека с одинаковым числом ошибок.