Question

Зачем векторам базис, какая его роль ? Без базиса нельзя разве построить вектор в Декартовой системе ? Ведь декартова система, координтаты есть, выбрал точку и рисуй вектор, но нет, нам зачем-то нужен базис...

Answer 1

Векторам базис не нужен, вектор – это что-то, существующее отдельно от базиса. Но когда идёт речь о координатах вектора, тогда уже понятие базиса существенно.

В физике любому перемещению можно поставить в соответствие вектор перемещения – вектор, соединяющий начало и конец перемещения. Для того, чтобы нарисовать такой вектор, координаты или базис не нужны: достаточно уметь соединять две точки. Даже складывать вектора можно без знания о каком-то "базисе": просто построй второй вектор из конца первого и проведи новый вектор из начала первого перемещения в новый конец. 

Однако может возникнуть вопрос, как обозначить вектор так, чтобы потом по этой записи можно было восстановить сам вектор. Тут на помощь приходит идея: возьмём некий набор векторов  $\vec e_1, \vec e_2,\dots, \vec e_n$ и запишем вектор x в виде линейной комбинации этих векторов:  $\vec x=\alpha_1\vec e_1+\alpha_2\vec e_2+\dots+\alpha_n\vec e_n$. Тогда вместо того, чтобы рисовать вектор, можно просто записать числа α1, α2, ..., αn, и, зная набор векторов, по которому мы разложили вектор, этот вектор можно будет легко восстановить.

Остаётся только нужным образом выбрать вектора ei. Понятно, что их можно выбрать разными способами, но в любом случае хочется, чтобы: 1) любой вектор можно было разложить по этим векторам и 2) чтобы такое разложение было единственным. Если набор векторов удовлетворяет таким требованиям, его называют базисом.

Один из естественных способов выбрать базис в трёхмерном пространстве – это взять обычную декартову систему координат, направить вдоль осей единичные отрезки i, j, k и записывать координаты вектора в этом базисе: записи (a, b, c) соответствует вектор x = ai + bj + ck.

Этот же вектор можно записать и в другом базисе. Тогда координаты вектора вообще говоря будут другими. Но сам вектор от этого не поменяется.

Answer 2

Базис является одним из фундаментальных понятий линейной алгебры, и он играет ключевую роль в определении и представлении векторов. Давайте разберемся, зачем нужен базис и почему векторы не могут быть полностью определены без него.

1. Базис в линейном пространстве: Векторы образуют линейное пространство, и это пространство может быть бесконечным и непрерывным. Векторы могут иметь различные свойства и направления. Чтобы упростить работу с векторами, нам нужно иметь способ однозначно их представить в конечном числе чисел. Именно для этого мы используем базис.

2. Определение базиса: Базис - это минимальный набор линейно независимых векторов, которые могут порождать все векторы данного линейного пространства путем их линейных комбинаций. Другими словами, любой вектор линейного пространства можно представить как комбинацию базисных векторов, умноженных на соответствующие коэффициенты.

3. Роль базиса: Базис позволяет нам удобно и компактно представлять векторы. Он дает нам возможность однозначно связать каждый вектор с набором чисел (координат), что делает работу с векторами более эффективной. Базис определяет систему координат в линейном пространстве и позволяет выполнять операции с векторами, такие как сложение, вычитание, умножение на скаляр и нахождение скалярного произведения.

4. Декартова система координат: Декартова система координат - это пример линейного пространства, и в ней мы используем базисные векторы для определения координат точек. В двумерной декартовой системе, например, у нас есть два базисных вектора: i (горизонтальное направление) и j (вертикальное направление). Каждая точка может быть однозначно определена в этой системе с помощью двух чисел - координат x и y.

   Таким образом, без базисных векторов невозможно определить координаты точки или представить векторы в этой системе. Векторы в декартовой системе имеют свои координаты относительно базисных векторов.

Конечно, существуют и другие системы координат и другие виды базисов (например, полярные координаты или базисы в других пространствах), которые также играют важную роль в определении и представлении векторов в соответствующих пространствах. Базис является фундаментальной концепцией, позволяющей нам работать с векторами и анализировать их свойства в различных математических и физических контекстах.