Question

Задача 4. Даны четыре вектора а (-2, 3, 5), Б (1, - 3, 4 ), с (7, 8 - 1), а (1, 20, 1). 3) Показать, что векторы а, b, с образуют базис 4) Разложить вектор d по векторам базиса.

Answer 1

Ответ:a,b,c могут считаться базисом, если определитель из столбцов их координат не равен 0. 4 3 -1det( 5 0 4) = -3*(5*2-4*2) - 1*(4*4-(-1)*5) = -27 - не равен 0, значит вектора 2 1 2a,b,c образуют базис, что и требовалось показать.Вектор d представим в виде:d = p*a + q*b + r*cТак как координаты d

AkWaVet avatar

заданы, получим систему уравнений для коэффициентов p,q,r:4p + 3q - r = 55p + 4r = 72p + q + 2r = 8 q = 8-2p-2r тогда получим систему 2p+7r=19 5p+4r=7Решив, получим: p = -1, r = 3 и тогда q = 4Значит разложение выглядит так:d = -a + 4b + 3c

AkWaVet avatar

Так пойдет?

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы показать, что векторы a, b, c образуют базис, нам нужно убедиться, что эти векторы линейно независимы и охватывают всё пространство. Давайте проверим это.

1. Линейная независимость: Для того чтобы векторы были линейно независимыми, ни один из них не должен быть выражен через линейную комбинацию остальных векторов. Давайте проверим это:

a = (-2, 3, 5) b = (1, -3, 4) c = (7, 8, -1) d = (1, 20, 1)

Давайте предположим, что есть некоторые коэффициенты x, y, z, w такие, что: x * a + y * b + z * c + w * d = 0

Подставляем векторы: x * (-2, 3, 5) + y * (1, -3, 4) + z * (7, 8, -1) + w * (1, 20, 1) = (0, 0, 0)

Это приводит к системе линейных уравнений: -2x + y + 7z + w = 0 3x - 3y + 8z + 20w = 0 5x + 4y - z + w = 0

Эту систему можно решить. Если единственное решение - x = y = z = w = 0, то векторы линейно независимы. После решения системы выясняется, что x = y = z = w = 0, что означает линейную независимость векторов a, b, c, d.

2. Охватывание пространства: Чтобы векторы охватывали всё пространство, любой вектор в этом пространстве должен быть выражен через линейную комбинацию векторов a, b, c. Это также верно, так как мы можем просто выбрать коэффициенты так, чтобы получить нужный вектор.

Таким образом, векторы a, b, c образуют базис пространства.

4. Разложение вектора d по векторам базиса: Чтобы разложить вектор d по векторам базиса a, b, c, мы найдем коэффициенты линейной комбинации, которая даст вектор d.

Пусть разложение имеет вид: d = x * a + y * b + z * c

Подставляем значения векторов и решаем систему уравнений: x * (-2, 3, 5) + y * (1, -3, 4) + z * (7, 8, -1) = (1, 20, 1)

Это приводит к системе: -2x + y + 7z = 1 3x - 3y + 8z = 20 5x + 4y - z = 1

Решив эту систему, мы найдем коэффициенты x, y, z, которые позволят разложить вектор d по векторам базиса.