Question

Задача на формулу Байеса. Два стрелка А и В поочередно стреляют в мишень до первого попадания, но не более двух раз каждый. Вероятность попадания при одном выстеле для A = 0.8, а для B = 0.6. Первый стрелок определяется по жребию. В результате стрельбы выиграл стрелок B. Какова вероятность, что он стрелял первым?

Answer 1

Формула Байеса

P ( первым | B ) = P ( В | первым ) * P ( первым ) / P (B) =

(0.6+ 0.4*0.2*0.6) * 1/2 / ( 1/2* (0.6+0.2*0.6+0.4*0.2*0.6+0.2*0.4*0.2*0.6))=0.833

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу Байеса, которая позволяет пересчитать вероятность одного события, зная информацию о другом событии.

Обозначим события:

• А1 - первый стрелок А стрелял первым,
• B1 - первый стрелок В стрелял первым,
• B_win - стрелок В выиграл.

Мы ищем вероятность того, что стрелок В стрелял первым (B1) при условии, что стрелок В выиграл (B_win). Используем формулу Байеса:

$P(B1 | B_win) = \frac{P(B_win | B1) \cdot P(B1)}{P(B_win)}$

Чтобы рассчитать числитель, нужно определить вероятность того, что стрелок В выиграл (B_win) при условии, что он стрелял первым (B1). Это будет вероятность того, что стрелок В попал за один или два выстрела, и при этом стрелок А не попал. Затем определим вероятность того, что стрелок В стрелял первым (B1). Наконец, найдем вероятность того, что стрелок В выиграл (B_win).

1. Вероятность того, что стрелок В попал и выиграл, стреляя первым (B_win | B1):

Есть два способа для стрелка В победить:

1. Стрелок В попал с первого выстрела (0 промахов) и стрелок А не попал с двух выстрелов (2 промаха). Вероятность этого события: $P(B_win1 | B1) = P(\text{попадание В}) \cdot P(\text{не попадание А})^2 = 0.6 \cdot (1-0.8)^2$.
2. Стрелок В попал со второго выстрела (1 промах) и стрелок А не попал с двух выстрелов (2 промаха). Вероятность этого события: $P(B_win2 | B1) = P(\text{промах В}) \cdot P(\text{попадание В}) \cdot P(\text{не попадание А}) = (1-0.6) \cdot 0.6 \cdot (1-0.8)$.

Тогда общая вероятность того, что стрелок В победил, стреляя первым, будет суммой этих двух вероятностей: $P(B_win | B1) = P(B_win1 | B1) + P(B_win2 | B1)$

2. Вероятность того, что стрелок В стрелял первым (B1): Это вероятность выбора стрелка В первым, которая составляет 0.5, так как выбор происходит по жребию.

3. Вероятность того, что стрелок В выиграл (B_win): Вероятность того, что стрелок В победил, не зависит от того, кто стрелял первым, так как оба стрелка могли выиграть свою первую попытку или проиграть, и только один из них выиграл вторую попытку. Тогда: $P(B_win) = P(B_win | B1) \cdot P(B1) + P(B_win | A1) \cdot P(A1)$

Теперь мы можем подставить все значения в формулу Байеса и вычислить вероятность:

$P(B1 | B_win) = \frac{P(B_win | B1) \cdot P(B1)}{P(B_win)} = \frac{P(B_win | B1) \cdot P(B1)}{P(B_win | B1) \cdot P(B1) + P(B_win | A1) \cdot P(A1)}$

$P(B1 | B_win) = \frac{(0.6 \cdot (1-0.8)^2 + (1-0.6) \cdot 0.6 \cdot (1-0.8)) \cdot 0.5}{(0.6 \cdot (1-0.8)^2 + (1-0.6) \cdot 0.6 \cdot (1-0.8)) \cdot 0.5 + (0.8 \cdot (1-0.6)^2 + (1-0.8) \cdot 0.8 \cdot (1-0.6)) \cdot 0.5}$

$P(B1 | B_win) = \frac{(0.6 \cdot 0.04 + 0.4 \cdot 0.24) \cdot 0.5}{(0.6 \cdot 0.04 + 0.4 \cdot 0.24) \cdot 0.5 + (0.8 \cdot 0.16 + 0.2 \cdot 0.48) \cdot 0.5}$

$P(B1 | B_win) = \frac{(0.024 + 0.096) \cdot 0.5}{(0.024 + 0.096) \cdot 0.5 + (0.128 + 0.096) \cdot 0.5}$

$P(B1 | B_win) = \frac{0.12}{0.12 + 0.224} \approx 0.3487$

Таким образом, вероятность того, что стрелок В стрелял первым, при условии, что он выиграл, составляет примерно 0.3487 или около 34.87%.