Question

Решите систему дифференциальных уравнений, пожалуйста, x'= 2x-y, y'= x+2e^t

Answer 1

Посмотрите предложенное решение; проверка не проводилась.
обратите внимание на то, что решение неоднородного ДУ дано отдельно, с красной пометкой, ответ отмечен зелёным.

Answer 2

Для решения данной системы дифференциальных уравнений, мы можем использовать метод интегрирования. Для этого сначала выразим переменные x и y через t.

Исходная система:

x' = 2x - y, y' = x + 2e^t.

Для уравнения x', давайте применим метод разделения переменных:

dx/dt = 2x - y.

Перенесем все члены с x на одну сторону и с y на другую:

dx/dt + y = 2x.

Теперь запишем уравнение y':

y' = x + 2e^t.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. dx/dt + y = 2x,
2. y' = x + 2e^t.

Теперь попробуем найти частное решение для уравнения (1).

Частное решение:

Пусть y = 2x. Тогда:

dx/dt + 2x = 2x, dx/dt = 0.

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения по t:

∫ dx = ∫ 0 dt, x = C1,

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, получаем, что x = C1, где C1 - произвольная постоянная.

Теперь подставим x = C1 в уравнение (1):

dx/dt + y = 2x, C1' + y = 2C1.

Теперь найдем y:

y = 2C1 - C1'.

Теперь найдем y':

y' = (2C1 - C1') + 2e^t.

У нас есть уравнение y' и y из уравнения (2). Теперь можем записать общее решение системы дифференциальных уравнений:

x = C1, y = 2C1 - C1' + 2e^t,

где C1 - произвольная постоянная.

Таким образом, это является общим решением системы дифференциальных уравнений. Если у вас есть начальные условия (значения x и y в определенный момент времени), вы можете использовать их, чтобы найти конкретные значения постоянных.