Question

1. ВМ медиана треугольника АВС. Выразите через b = ВС и а = МС векторы ВМ и АВ. 2. Даны координаты вершин треугольника А(1;-2),В(4;2),С(5;0). Найти: а) длину стороны АВ; б) уравнение стороны ВС; в) внутренний угол при вершине В; г) уравнение медианы АЕ.

Answer 1

1. BM = b-a; AB = a-b+a = 2a-b;
2. а) $AB = \sqrt{(1-4)^{2}+(-2-2)^{2} } =5$
б) Уравнение kx+b; найдем k: k=(2-0)/(4-5) = -2; 2/1 = b/5 ⇔ b=10;
y=-2x+10
в) AB = 5, BC = √5, AC = 2√5; По теореме косинусов: 30-10√5 cos B = 20 ⇔ cosB = √5/5; B≈63,4°; 
г) Уравнение медианы kx+b; k = ((2+0)/2)+2)/((5+4)/2-1) = 3/3,5 = 6/7
b = -2-6/7 = -20/7; y = 6x/7-20/7 

Answer 2

1. Вектор ВМ: ВМ = МС - ВС

Вектор АВ: АВ = В - А

2. Даны координаты вершин треугольника А(1;-2), В(4;2), С(5;0).

а) Длина стороны АВ: Длина стороны АВ (b) вычисляется с использованием формулы расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

b = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

где (x1, y1) = (1, -2) - координаты точки А (x2, y2) = (4, 2) - координаты точки В

b = √((4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2) b = √(3^2 + 4^2) b = √(9 + 16) b = √25 b = 5

Ответ: Длина стороны АВ равна 5.

б) Уравнение стороны ВС: Уравнение прямой, проходящей через точки В(4;2) и С(5;0), можно записать в виде уравнения прямой y = kx + b, где k - угловой коэффициент, а b - свободный член.

1. Вычислим угловой коэффициент k: k = (y2 - y1) / (x2 - x1) k = (0 - 2) / (5 - 4) k = -2

2. Вычислим свободный член b, подставив координаты одной из вершин (например, В(4;2)): 2 = -2 * 4 + b 2 = -8 + b b = 10

Таким образом, уравнение стороны ВС: y = -2x + 10.

в) Внутренний угол при вершине В: Для вычисления внутреннего угла при вершине В можно воспользоваться законом косинусов.

Пусть угол В равен α, а длины сторон треугольника обозначим как a, b и c (сторона АС).

Тогда, применяя закон косинусов для угла В, получим: cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c)

1. Вычислим длину стороны АС (c): c = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) c = √((5 - 1)^2 + (0 - (-2))^2) c = √(4^2 + 2^2) c = √(16 + 4) c = √20

2. Подставим значения a, b и c в формулу для cos(α): cos(α) = (5^2 + √20^2 - 4^2) / (2 * 5 * √20)

3. Вычислим cos(α) и затем сам угол α: cos(α) = (25 + 20 - 16) / (2 * 5 * √20) cos(α) = 29 / (10 * √20) cos(α) ≈ 0.9135

α ≈ arccos(0.9135) α ≈ 24.49°

Ответ: Внутренний угол при вершине В примерно равен 24.49°.

г) Уравнение медианы АЕ: Медиана АЕ - это отрезок, который соединяет вершину А треугольника со средней точкой стороны ВС.

1. Найдем координаты точки Е - средней точки стороны ВС: x_Е = (x_В + x_С) / 2 x_Е = (4 + 5) / 2 x_Е = 9 / 2 x_Е = 4.5

y_Е = (y_В + y_С) / 2 y_Е = (2 + 0) / 2 y_Е = 2 / 2 y_Е = 1

Таким образом, координаты точки Е равны (4.5, 1).

2. Теперь вычислим уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-2) и Е(4.5, 1).

a) Вычислим угловой коэффициент k: k = (y_Е - y_А) / (x_Е - x_А) k = (1 - (-2)) / (4.5 - 1) k = 3 / 3.5 k = 0.8571 (округляем до четырех знаков после запятой)

б) Вычислим свободный член b: b = y_А - k * x_А b = -2 - 0.8571 * 1 b = -2 - 0.8571 b = -2.8571 (округляем до четырех знаков после запятой)

Таким образом, уравнение медианы АЕ: y = 0.8571x - 2.8571.