Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3+2x^2-4x на интервале [-3;4]

Answer 1

f'(x)=3x²+4x-4=0 ; d=16+48=64

x1=(-4+8)/6=2/3

x2=(-4-8)/6=-2 

f(-3)=-27+18+12=3   

f(-2)=-8+8+8=8

f(2/3)=8/27+8/9-8/3=-1целая13/27 наименьшее значение

f(4)=64+32-16=80  наибольшее значение 

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x на интервале [-3; 4], нужно следовать следующим шагам:

1. Найдите критические точки функции на интервале [-3; 4]. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

2. Проверьте значения функции в критических точках и на границах интервала [-3; 4].

3. Найдите наибольшее и наименьшее значение из всех найденных значений.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x) и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки:

f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x

f'(x) = 3x^2 + 4x - 4

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x^2 + 4x - 4 = 0

Для решения этого уравнения можно воспользоваться квадратным уравнением или графическим методом. Получим два корня:

x = (-4 ± √(4^2 - 43(-4))) / (2*3) x = (-4 ± √(16 + 48)) / 6 x = (-4 ± √64) / 6 x = (-4 ± 8) / 6

Таким образом, критические точки равны:

x₁ = (-4 + 8) / 6 = 4/6 = 2/3 x₂ = (-4 - 8) / 6 = -12/6 = -2

Шаг 2: Теперь найдем значения функции в критических точках и на границах интервала [-3; 4]:

f(2/3) = (2/3)^3 + 2(2/3)^2 - 4(2/3) f(2/3) = 8/27 + 8/9 - 8/3 f(2/3) = 8/27 + 24/27 - 72/27 f(2/3) = -40/27

f(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) f(-2) = -8 + 8 + 8 f(-2) = 8

f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 4(-3) f(-3) = -27 + 18 + 12 f(-3) = 3

f(4) = 4^3 + 2(4)^2 - 4(4) f(4) = 64 + 32 - 16 f(4) = 80

Шаг 3: Найдем наибольшее и наименьшее значение из полученных значений:

Наименьшее значение: -40/27 ≈ -1.48 (при x ≈ 2/3) Наибольшее значение: 80 (при x = 4)

Итак, на интервале [-3; 4] функция f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x принимает наименьшее значение около -1.48 при x ≈ 2/3 и наибольшее значение 80 при x = 4.