Question

Чем отличается наибольшее значение функции от максимума функции. Обозначается maxf(x), верно? Распишите подробно

Answer 1

Максимум/ минимум (экстремум) функции -значения функции в "критических" точках, где производная обращается в 0. При этом рассматривается вся ОДЗ функции.
А наибольшее и наи меньшее значения функции всегда увязаны с промежутком Х, на котором их требуется найти.
В зависимости от взаимного положения критических точек и промежутка, а также от вида промежутка (отрезок, интервал) могут быть самые различные варианты наибольшего и наименьшего значений

Answer 2

Да, вы правы. В терминологии математики и анализа функций, "наибольшее значение функции" и "максимум функции" - это два разных понятия, хотя они могут быть взаимозаменяемыми в некоторых контекстах. Давайте подробнее разберемся в различиях между ними.

1. Наибольшее значение функции (Maximum Value of a Function): Наибольшее значение функции означает наибольшее значение (наибольшее число) из всех значений, которые функция принимает на заданном интервале или области определения. Формально, если у нас есть функция f(x), определенная на интервале [a, b], то наибольшее значение функции, обозначаемое как maxf(x), будет равно:

maxf(x) = max {f(x) | a ≤ x ≤ b}

То есть, maxf(x) представляет собой наибольшее число, которое может быть получено подставлением различных значений x из интервала [a, b] в функцию f(x).

2. Максимум функции (Maximum of a Function): Максимум функции - это конкретное значение аргумента x, при котором функция достигает наибольшего значения. То есть, это значение x, при котором f(x) равно максимальному значению на всем интервале определения. Формально, максимум функции обозначается как (x_max, f(x_max)), где x_max - это точка максимума, а f(x_max) - это значение функции в этой точке.

Таким образом, основное различие между наибольшим значением функции (maxf(x)) и максимумом функции заключается в следующем:

• maxf(x) представляет собой число и является наибольшим значением функции на заданном интервале [a, b], но не обязательно соответствует конкретной точке x.
• Максимум функции (x_max, f(x_max)) представляет собой конкретную точку (значение x) и соответствующее ей значение функции (f(x)), при которой функция достигает наибольшего значения на всем интервале определения.

В некоторых случаях, если функция непрерывна на своем интервале определения, наибольшее значение функции (maxf(x)) и максимум функции (x_max, f(x_max)) могут совпадать, то есть максимум функции будет достигаться в одной или нескольких точках, где функция принимает своё наибольшее значение. Однако это не всегда так, и максимум функции может достигаться в точке без изменения наибольшего значения функции.

Например, рассмотрим функцию f(x) = x^2 на интервале [-2, 2]. Максимум функции f(x) будет достигаться в точке x_max = 2, где f(2) = 2^2 = 4, но наибольшее значение функции maxf(x) = 4 также будет достигаться при x = -2, где f(-2) = (-2)^2 = 4.

Итак, хотя эти термины часто используются взаимозаменяемо, важно понимать различия между наибольшим значением функции и максимумом функции для более точного и точного описания свойств функции.