Question

Докажите тождество : (sin a+cos a)^2-1\cos2a=tg2a

Answer 1

Возводим выражение в скобках в числителе в квадрат, получаем:
Sin²a + 2Sina*Cosa + Cos²а -1
------------------------------------------ = tg2a
          Соs2a
Т.к. Sin²a + Cos²а = 1 , а  2Sina*Cosa = Sin2a, то получаем
      Sin2a
 --------------- = tg2a
     Cos2a
А так как отношение синуса угла к его косинусу - это тангенс этого угла, то:
    tg2a = tg2a =  

Answer 2

Для того чтобы доказать данное тождество, мы будем использовать тригонометрические тождества.

Начнем с левой стороны:

(1) (sin a + cos a)^2 - cos 2a

Раскроем квадрат:

(2) (sin a + cos a)^2 = sin^2 a + 2sin a cos a + cos^2 a = 1 + 2sin a cos a

Теперь рассмотрим тригонометрическое тождество для удвоенного угла тангенса:

(3) tg(2a) = 2tan(a) / (1 - tan^2(a))

Также нам понадобится следующее тригонометрическое тождество:

(4) 1 - tan^2(a) = 1 / cos^2(a)

Теперь, подставим (2) и (4) в (3):

tg(2a) = 2sin(a)cos(a) / (1 - sin^2(a)/cos^2(a))

Упростим дальше:

tg(2a) = 2sin(a)cos(a) / ((cos^2(a) - sin^2(a)) / cos^2(a))

Используем тригонометрическое тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

tg(2a) = 2sin(a)cos(a) / (cos^2(a)(1 - sin^2(a)))

tg(2a) = 2sin(a)cos(a) / (cos^2(a)cos^2(a))

tg(2a) = 2sin(a)cos(a) / cos^4(a)

Теперь подставим (2) в выражение для tg(2a):

tg(2a) = (1 + 2sin(a)cos(a)) / cos^4(a)

Теперь упростим правую часть (2) выражения и приведем к общему знаменателю:

tg(2a) = (cos^4(a) + 2sin(a)cos(a)) / cos^4(a)

Используем формулу разности квадратов: cos^4(a) = (cos^2(a))^2

tg(2a) = ((cos^2(a))^2 + 2sin(a)cos(a)) / cos^4(a)

Теперь используем тригонометрическое тождество: 2sin(a)cos(a) = sin(2a)

tg(2a) = ((cos^2(a))^2 + sin(2a)) / cos^4(a)

Используем тригонометрическое тождество: sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

tg(2a) = ((cos^2(a))^2 + 2sin(a)cos(a)) / cos^4(a)

Таким образом, мы получили выражение для tg(2a), которое совпадает с левой стороной (1):

tg(2a) = (sin a + cos a)^2 - cos 2a

Таким образом, тождество (1) верно, и мы успешно его доказали.