Question

2. Найдите наименьшее значение функции f(x)=4x3-x4 на отрезке [-2; 3]. Пожалуйста, подробный ход решения на листке

Answer 1

Решение - в приложении

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции f(x) на заданном отрезке [-2; 3], нужно следовать следующим шагам:

1. Найдем значения функции на концах отрезка.
2. Найдем критические точки функции внутри отрезка.
3. Сравним значения функции на концах отрезка и в критических точках, чтобы найти наименьшее значение.

Шаг 1: Найдем значения функции на концах отрезка. Для x = -2: f(-2) = 4*(-2)^3 - (-2)^4 = 4*(-8) - 16 = -32 - 16 = -48.

Для x = 3: f(3) = 43^3 - 3^4 = 427 - 81 = 108 - 81 = 27.

Шаг 2: Найдем критические точки функции внутри отрезка. Критические точки функции - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

f(x) = 4x^3 - x^4

f'(x) = d/dx (4x^3 - x^4) f'(x) = 12x^2 - 4x^3.

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

12x^2 - 4x^3 = 0 4x^2(3 - x) = 0.

Из этого уравнения видно, что два множителя равны нулю:

1. 4x^2 = 0 => x = 0
2. 3 - x = 0 => x = 3.

Шаг 3: Сравним значения функции на концах отрезка и в критических точках. Теперь подставим найденные значения x в функцию f(x) и найдем соответствующие значения:

• Для x = -2: f(-2) = -48
• Для x = 0: f(0) = 4*0^3 - 0^4 = 0
• Для x = 3: f(3) = 27.

Минимальное значение функции на отрезке [-2; 3] равно -48 и достигается при x = -2.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) = 4x^3 - x^4 на отрезке [-2; 3] равно -48 и достигается в точке x = -2.