Question

Найти наименьшее значение функции y(x)=5x-ln(x+5)^5

Answer 1

Hi 
Russia 
Have  a nice day 

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции $y(x) = 5x - \ln((x+5)^5)$, нужно найти точку, где производная функции равна нулю, и проверить, является ли эта точка минимумом.

Шаг 1: Найдем производную функции $y(x)$: $y'(x) = 5 - \frac{5 \cdot 5 \cdot (x+5)^4}{(x+5)^5}.$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим уравнение: $5 - \frac{5 \cdot 5 \cdot (x+5)^4}{(x+5)^5} = 0.$

Шаг 3: Упростим уравнение: $5 - \frac{25}{x+5} = 0.$

Шаг 4: Решим уравнение относительно $x$: $\frac{25}{x+5} = 5,$ $25 = 5(x+5),$ $x+5 = 5,$ $x = 5-5,$ $x = 0.$

Шаг 5: Теперь убедимся, что это точка минимума. Для этого возьмем вторую производную функции $y(x)$: $y''(x) = \frac{100 \cdot (x+5)^3}{(x+5)^5}.$

Подставим найденное значение $x=0$ во вторую производную: $y''(0) = \frac{100 \cdot (0+5)^3}{(0+5)^5} = \frac{100 \cdot 5^3}{5^5} = \frac{100 \cdot 125}{3125} = \frac{12500}{3125} = 4.$

Так как $y''(0) > 0$, это означает, что найденная точка $x=0$ является точкой минимума.

Шаг 6: Найдем соответствующее значение функции $y(x)$ в точке минимума: $y(0) = 5 \cdot 0 - \ln((0+5)^5) = -\ln(5^5) = -\ln(3125).$

Итак, наименьшее значение функции $y(x)$ равно $-\ln(3125)$ (приближенно $-8.047$). Это достигается в точке $x=0$.