Question

Найти область определения и множество значений функции, обратной данной: 1) y=(1/4)x-7 2) y=x³-1 3) y=3/(x-4)

Answer 1

Даны функции: 1) y=(1/4)x-7 , 2) y=x³-1 , 3) y=3/(x-4).

Находим им обратные:

1) 4у = х - 28, х = 4у + 28. Меняем х на у: у = 4х + 28.

График этой функции - прямая линия. D = E = R.

2) x³ = y + 1, x = ∛(y + 1). Меняем х на у: у = ∛(х + 1) = (x + 1)^(1/3).

Это степенная функция. График её - половина кубической параболы относительно оси Ох, начало в точке х = -1.

1.D(f)=[-1; +∞);

2.E(f)=[0; +∞);

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x ∈ [-1; +∞);

5. не имеет наибольшего значения, ymin.=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

7. выпукла вверх;

8. непрерывна.

3) у = 3/(х - 4), ху - 4у = 3, х = (3 + 4у)/у.

Меняем х на у: у = (3 + 4х)/х = (3/х) + 4.

Это функция обратной пропорциональности.

График её = гипербола, сдвинутая по оси Оу на 4 единицы вверх.

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = 0.

2. у > 0 при х < (-3/4), x > 0 ; у<0 при (-3/4) < х < 0.

3. Функция убывает на промежутках (-∞, 0) и (0, +∞).

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху, E(f)=(-∞; 4) ∪ (4; +∞).

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции

6. Функция непрерывна на промежутках (-∞, 0) и (0, +∞) и претерпевает разрыв при х = 0.

Answer 2

Чтобы найти область определения и множество значений функции, обратной данной, нужно сначала найти обратную функцию для каждой из данных функций, а затем определить их области определения и множества значений.

1. Функция: y = (1/4)x - 7

Для нахождения обратной функции, обозначим x как y и решим уравнение относительно y:

x = (1/4)y - 7

Прибавим 7 к обеим сторонам уравнения:

x + 7 = (1/4)y

Теперь умножим обе стороны на 4:

4(x + 7) = y

Таким образом, обратная функция:

y^-1 = 4(x + 7)

Область определения функции y = (1/4)x - 7: для любого значения x.

Множество значений обратной функции y^-1 = 4(x + 7): для любого значения y.

2. Функция: y = x³ - 1

Для нахождения обратной функции заменим x и y местами и решим уравнение относительно y:

x = y³ - 1

Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

x + 1 = y³

Теперь извлечем кубический корень:

y = ∛(x + 1)

Обратная функция:

y^-1 = ∛(x + 1)

Область определения функции y = x³ - 1: для любого значения x.

Множество значений обратной функции y^-1 = ∛(x + 1): для любого значения y.

3. Функция: y = 3/(x - 4)

Для нахождения обратной функции заменим x и y местами и решим уравнение относительно y:

x = 3/(y - 4)

Теперь решим уравнение относительно y. Сначала возьмем общий знаменатель:

y - 4 = 3/x

Теперь добавим 4 к обеим сторонам уравнения:

y = 3/x + 4

Обратная функция:

y^-1 = 3/x + 4

Однако следует отметить, что при нахождении обратной функции, мы должны также учитывать область определения исходной функции. В данном случае, исходная функция y = 3/(x - 4) имеет ограничение на x, что x ≠ 4, так как деление на ноль не определено. Поэтому область определения обратной функции будет также x ≠ 4.

Множество значений обратной функции y^-1 = 3/x + 4: для любого значения y.