Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке f(x)= 18x^2+8x^3-3x^4

Answer 1

F'(x)=36x+24x²-12x³
f'(x)=0
36x+24x²-12x³=0
12x(3+2x-x²)=0
x1=0
x²-2x-3=0
x2=-1
x3=3
отрезку [0;2π] пренадлежат х1=0 и х3=3
найдем значения функции в концах отрезка и в точке х=3 (точка х=0 совпадает с концом отрезка)
f(0)=18*0²+8*0³-3*0⁴=0

f(3)=18*3²+8*3³-3*3⁴=
=18*9+8*27-3*81=162+216-243=135

f(2π)=18*(2π)²+8*(2π)³-3*(2π)⁴=
=18*4π²+8*8π³-3*16π⁴=72π²+64π³-48π⁴=
=8π²(9+8π-6π²)≈-1981

f min=f(2π)=8π²(9+8π-6π²)
f max=f(3)=135

Answer 2

F`(x)=36x+24x^2-12x^3
f(x)=0
36x+24x^2-12x^3=0
x(-12x^2+24x+36)=0
x=0
-12x^2+24x+36=0
D=576-4*(-12)*36=2304=48^2
x2=(-24+48)/-24=-1
x3=(-24-48)/-24=3
В данном диапазоне 2 критические точки x1=0 и x3=3
f(0)=0
f(3)=18*9+8*27-3*81=135
Рассмотрим значение f(6.28)==-1974.9
Ответ:ymax=135, при x=3
уmin=-1974.9 при x=6.28

Answer 3

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) = 18x^2 + 8x^3 - 3x^4 на заданном промежутке, следует выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции, где производная равна нулю или не существует.
2. Определить значения функции в критических точках и на границах заданного промежутка.
3. Выбрать наибольшее и наименьшее значение из полученных значений.

Давайте выполним эти шаги:

Шаг 1: Найти производную функции f(x) и приравнять её нулю, чтобы найти критические точки:

f(x) = 18x^2 + 8x^3 - 3x^4

f'(x) = d/dx (18x^2 + 8x^3 - 3x^4) f'(x) = 36x + 24x^2 - 12x^3

Найдем значения x, при которых f'(x) = 0:

36x + 24x^2 - 12x^3 = 0

Это уравнение нелинейное, и его решение не так просто, но мы здесь можем воспользоваться численными методами или графическими методами. Визуализировав график функции, мы сможем приближенно определить значения критических точек.

Шаг 2: Определить значения функции в критических точках и на границах заданного промежутка.

Для выполнения этого шага нам необходимо знать, какой промежуток задан для переменной x. Если промежуток не указан, предположим, что x может принимать любые значения. В этом случае, функция не имеет конкретных наибольших или наименьших значений, так как она является многочленом с отрицательным старшим коэффициентом (коэффициент перед x^4).

Если же промежуток задан, например, от a до b, то нам нужно вычислить значения функции в критических точках (если они есть) и на границах (x = a и x = b).

Шаг 3: Найти наибольшее и наименьшее значение функции.

Если у нас есть значения функции в критических точках и на границах, то наибольшее и наименьшее значения будут соответственно максимальным и минимальным значением из всех полученных значений.

Если у вас есть конкретный промежуток [a, b], пожалуйста, предоставьте его, и я смогу продолжить решение для вашего случая. Если же промежуток не указан, пожалуйста, уточните задачу или предоставьте необходимые данные.